Satz von Moivre-Laplace

Kernidee und Bedeutung

Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er beschreibt, dass sich die diskrete Binomialverteilung bei wachsendem Stichprobenumfang n der stetigen Normalverteilung annähert. Für n → ∞ und Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 kann die Normalverteilung deshalb als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden. Diese Normal-Approximation ist besonders bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen und bei Hypothesentests wichtig.

Ausgangspunkt sind unabhängige Bernoulli-Versuche: Jede Zufallsvariable Xᵢ beschreibt einen Versuch mit zwei möglichen Ergebnissen und derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen X₁, X₂, X₃, … wird die Anzahl der Erfolge nach n Versuchen durch die Summe Sₙ = ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ beschrieben. Sₙ ist binomialverteilt mit den Parametern n und p.

Der Satz ist nur für p ∈ (0,1) formuliert. Die Approximation verbindet eine diskrete Verteilung, die einzelne Werte wie k = 0, 1, …, n annimmt, mit einer stetigen Normalverteilung. Gerade dieser Übergang verursacht einen Näherungsfehler, der durch eine Stetigkeitskorrektur vermindert werden kann.

Mathematische Aussage

Für die binomialverteilte Summe Sₙ gelten der Erwartungswert μₙ und die positive Standardabweichung σₙ:

μₙ := E[Sₙ] = np

σₙ := √Var[Sₙ] = √(np(1 − p)).

Dabei bezeichnet Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Varianz σ² wird mit φ_{μ,σ²} bezeichnet.

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace lautet:

limₙ→∞ P(Sₙ = k) / φ_{μₙ,σₙ²}(k) = 1, für k = 0, 1, …, n.

Er besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert k der Binomialverteilung im Grenzfall durch den Wert der Dichtefunktion einer Normalverteilung mit demselben Erwartungswert μₙ und derselben Varianz σₙ² beschrieben wird.

Der globale Grenzwertsatz lautet:

limₙ→∞ P((Sₙ − μₙ) / σₙ ≤ t) = Φ(t) für alle t ∈ ℝ.

Die standardisierte Zufallsvariable (Sₙ − μₙ) / σₙ konvergiert somit für n → ∞ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung. Der globale Satz betrachtet nicht nur einen einzelnen Wert, sondern kumulierte Wahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze t.

Approximation und Anwendung

Der lokale Grenzwertsatz rechtfertigt die Approximation

P(Sₙ = k) ≈ 1/(√(2π)σₙ) · exp(−½((k − μₙ)/σₙ)²) = φ_{μₙ,σₙ²}(k), für k = 0, 1, …, n.

Auf der rechten Seite steht die Dichtefunktion der Normalverteilung 𝒩(μₙ, σₙ²) an der Stelle k. Die Binomialverteilung wird also durch eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz ersetzt:

Bin(n,p) ≈ 𝒩(μₙ, σₙ²).

Für Verteilungsfunktionen kann die globale Aussage auch so geschrieben werden:

limₙ→∞ |P(Sₙ ≤ t) − Φ((t − μₙ)/σₙ)| = 0 für alle t ∈ ℝ.

Daraus folgt für eine konkrete Grenze k die praktische Näherung

P(Sₙ ≤ k) ≈ Φ((k − μₙ)/σₙ).

Zur Verringerung des Näherungsfehlers wird bei der Normal-Approximation zusätzlich eine Stetigkeitskorrektur verwendet. Sie soll den Fehler ausgleichen, der entsteht, weil die Binomialverteilung diskret, die Normalverteilung dagegen stetig ist.

Für p = 1/2 kann die Annäherung experimentell durch ein Galtonbrett veranschaulicht werden. Historisch gilt der Satz von de Moivre-Laplace als erster zentraler Grenzwertsatz: Abraham de Moivre zeigte 1730 den Fall p = 1/2, Pierre-Simon Laplace 1812 den allgemeinen Fall.