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Galtonbrett
Ein Galtonbrett (nach Francis Galton), auch Zufallsbrett oder Galtonsches Nagelbrett genannt, ist ein mechanisches Modell zur Demonstration und …
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Grundidee
Ein Galtonbrett, auch Zufallsbrett oder Galtonsches Nagelbrett genannt, ist ein mechanisches Modell zur Demonstration der Binomialverteilung. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehreren gleichartigen Zufallsversuchen auftritt.
Das Brett besteht aus regelmäßig angeordneten Hindernissen. Eine Kugel wird oben eingeworfen und kann an jedem Hindernis nach links oder nach rechts abprallen. Unten werden die Kugeln in Fächern aufgefangen und gezählt. Die Füllhöhen der Fächer zeigen, wie häufig die verschiedenen Endpositionen auftreten.
Bedeutung als Modell
Das Galtonbrett kann als Modell für ein physikalisches Messgerät verstanden werden, dessen Messwerte durch Rauschen verändert werden. Die horizontale Position der Kugel steht für den Messwert. Oben ist dieser Wert noch exakt, unten ist er durch viele kleine Störungen verändert.
Die Hindernisse symbolisieren kleine positive oder negative Störungen. In der Summe können diese Störungen größer werden oder sich gegenseitig aufheben. So entsteht eine Häufigkeitsverteilung der aufsummierten Störungen. Bei realen Messungen kann das zum Beispiel der Rauschverteilung eines elektrischen Signals entsprechen.
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe sehr vieler kleiner Einzelstörungen unter passenden Voraussetzungen gegen die glockenförmige gaußsche Normalverteilung konvergiert. Bei einer endlichen Zahl von Störungen, wie beim Galtonbrett, erhält man zunächst eine Binomialverteilung. Im Grenzwert vieler Störungen und vieler Fächer konvergiert auch sie gegen die Normalverteilung; dies beschreibt der Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
Bernoulli-Kette
Jedes Aufprallen einer Kugel auf ein Hindernis ist ein Bernoulli-Versuch, also ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen. Hier sind die Ausgänge: „Kugel fällt nach links“ mit X = 0 und „Kugel fällt nach rechts“ mit X = 1.
Bei symmetrischem Aufbau gilt P(X = 0) = q = 1/2 und P(X = 1) = p = 1/2. Durch einen unsymmetrischen Aufbau oder durch Schiefstellen des Bretts kann p einen anderen Wert annehmen. Dann gilt weiterhin q = 1 - p, weil eine Kugel, die nicht nach rechts fällt, nach links fällt.
Wenn eine Kugel mehrere Hindernisreihen durchläuft, wird der Bernoulli-Versuch mehrfach wiederholt. Das ganze Gerät bildet daher eine Bernoulli-Kette. Die Anzahl der waagerechten Hindernisreihen ist die Länge dieser Kette. Im beschriebenen Beispiel mit vier Reihen handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge 4.
Wahrscheinlichkeiten im symmetrischen Fall
Bei einem Brett mit vier Hindernisreihen und p = q = 1/2 teilen sich die Kugelströme an jedem Hindernis auf und vereinigen sich zwischen benachbarten Hindernissen wieder. Deshalb entstehen die Zähler 1, 4, 6, 4, 1 für die fünf Fächer. Diese Zahlen sind Binomialkoeffizienten und folgen dem Schema des pascalschen Dreiecks. Die Nenner sind Potenzen von 2, weil jede Links- oder Rechtsentscheidung die Wahrscheinlichkeit 1/2 hat.
Für vier Reihen ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 und 1/16. Die Fächer können danach nummeriert werden, wie oft eine Kugel nach rechts fallen muss: Fach 0 bedeutet keinmal nach rechts, Fach 1 bedeutet genau einmal nach rechts, bis Fach 4 mit viermal nach rechts.
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten lauten: B(0) = 1 · (1/2)^4 = 1/16, B(1) = 4 · (1/2)^4 = 4/16, B(2) = 6 · (1/2)^4 = 6/16, B(3) = 4 · (1/2)^4 = 4/16 und B(4) = 1 · (1/2)^4 = 1/16. Allgemein gilt für das Fach k bei vier Reihen: B(k) = (4 über k) · (1/2)^4 = (4 über k) · 1/16.
Für ein Galtonbrett mit n Hindernisreihen lautet die verallgemeinerte Formel im symmetrischen Fall: B(k,n) = (n über k) · (1/2)^n = (n über k) · 1/2^n. Im Artikel wird außerdem erwähnt, dass ein konkretes abgebildetes Brett durch zu große Hohlräume zwischen Hindernissen und Kugeln verfälscht ist, weil manche Kugeln nicht abgelenkt werden; dadurch wirkt der mittlere Balken zu hoch.
Unsymmetrisches Brett
Bei einem unsymmetrischen Galtonbrett sind die Wahrscheinlichkeiten für links und rechts nicht gleich groß. Die Kugeln fallen mit der Wahrscheinlichkeit p nach rechts und mit q = 1 - p nach links. Ein gekipptes Galtonbrett kann zum Beispiel ungefähr p = 0,9 haben.
Bei vier Reihen landet eine Kugel in Fach 0 mit der Wahrscheinlichkeit q^4, weil sie viermal nach links fallen muss. Im ganz rechten Fach landet sie mit der Wahrscheinlichkeit p^4, weil sie viermal nach rechts fallen muss. Für ein Fach mit Nummer k muss sie k-mal nach rechts und 4 - k-mal nach links fallen. Die Binomialkoeffizienten bleiben gleich, weil die möglichen Wege weiterhin auf dieselbe Weise zusammenlaufen.
Für ein 4-reihiges Brett gilt deshalb: B(k,p,4) = (4 über k) · p^k · q^(4-k) = (4 über k) · p^k · (1-p)^(4-k). Für ein n-reihiges Brett lautet die allgemeine Formel: B(k,p,n) = (n über k) · p^k · q^(n-k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Das ist genau die Binomialverteilung einer Bernoulli-Kette der Länge n mit P(1) = p und P(0) = q = 1 - p.
Anwendung in einem Spiel
Das Brettspiel Galtoni beruht auf einem Galtonbrett mit mehreren Eingängen an der oberen Seite. Es ist mit den Gewinnregeln von Vier gewinnt kombiniert.
