SI-Modell

Grundidee und mathematische Grundlage

Das SI-Modell ist ein einfaches Modell der mathematischen Epidemiologie zur Beschreibung der Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit. Es unterscheidet zwischen gesunden, noch nicht angesteckten Individuen S(t) und bereits angesteckten, infektiösen Individuen I(t). Die Gesamtzahl der betrachteten Individuen bleibt konstant: I(t)+S(t)=N=const. Geburten und Sterbefälle werden nicht berücksichtigt. Einmal infizierte Personen können sich nach ihrer Gesundung nicht erneut infizieren; deshalb werden sie im einfachen SI-Modell weiterhin zur Gruppe I gezählt.

Die Zahl neuer Infektionen hängt sowohl von der Zahl der Infizierten als auch von der Zahl der noch empfänglichen Gesunden ab. Mit dem Wechselwirkungsfaktor c gilt:

• dS/dt=-c·I(t)·S(t)
• dI/dt=c·I(t)·S(t)

Das Produkt I(t)·S(t) beschreibt die möglichen Kontakte zwischen Infizierten und Gesunden. Der Faktor c bestimmt, welcher Anteil dieser Kontakte zu neuen Infektionen führt. Wegen S=N-I folgt die zentrale Differentialgleichung DG-0:

dI/dt=r·I(t)·(1-I(t)/N).

Dabei ist r die Replikationsrate, die im anfänglichen Bereich I(t)≪N aus cN entsteht. In diesem Bereich gilt näherungsweise dI/dt=r·I(t); die Zahl der Infizierten wächst also exponentiell. r wird im Artikel als Replikationsrate beziehungsweise als reziproke Halbwertszeit bezeichnet. Sie hängt von der Wirksamkeit der Übertragung, der Häufigkeit der Kontakte, der Beweglichkeit und Geschwindigkeit der Kontaktpartner, ihrer Dichte sowie ihrem Wirkungsquerschnitt ab.

Das SI-Modell ähnelt formal einem Räuber-Beute-Modell mit „Infizierte-Gesunde“, führt aber nicht zu einer Schwingungsgleichung. Verwandte Modelle sind das SIS-Modell, in dem Individuen wieder gesund werden können, und das SIR-Modell, in dem sie immun werden können.

Lösung, Wellenverlauf und R-Wert

Die analytische Lösung von DG-0 lautet:

I(t)=N/[1+(N/I(0)-1)·e^(-rt)] = N/[1+e^(-r(t-tw))].

Die Zeit des Wendepunkts ist

tw=ln(N/I(0)-1)/r.

Für die Zahl der Gesunden gilt:

S(t)=N/[1+e^(r(t-tw))].

Daraus folgt I(∞)=N: Bei positiver Replikationsrate werden im einfachen SI-Modell letztlich alle Gesunden infiziert. Die Änderungsrate dI/dt besitzt ihr Maximum am Wendepunkt I=N/2:

(dI/dt)|tw=rN/4.

Die zweite Ableitung lautet:

d²I/dt²=r²·N·(1-2I/N)·(1-I/N).

Ihre Nullstellen liegen bei 0, N/2 und N. Zwischen 0 und N/2 liegt das Maximum der zweiten Ableitung bei I1=(N/2)·(1-1/√3)=0,2213·N; zwischen N/2 und N liegt das Minimum bei I2=(N/2)·(1+1/√3)=0,77887·N. Die zugehörigen Werte sind 0,09623·r²·N beziehungsweise -0,09623·r²·N.

Zur Bestimmung von r und N aus realen Daten kann die relative zeitliche Änderung Q verwendet werden:

Q(t)=(dI/dt)/I=r·(1-I/N).

Q(I) fällt linear von Q(0)=r bis Q(N)=0. Mit einer Regressionsanalyse lassen sich r und N dadurch einfach bestimmen.

Der R-Wert des Robert Koch-Instituts wird im Artikel für s=4 und t≥2s definiert als

R_RKI(t)=[I(t)-I(t-s)]/[I(t-s)-I(t-2s)].

Für die SI-Lösung gilt unter anderem R_RKI(-∞)=e^(rs), R_RKI(∞)=e^(-rs), R_RKI(tw+s)=1 und

R_RKI(I)=e^(rs)-[(e^(rs)-e^(-rs))/N]·I.

Der R-Wert fällt somit bei zunehmender Infektionszahl linear. Er gibt jedoch keine Auskunft über die absolute Größe von I(t), sondern über das Verhältnis aufeinanderfolgender Infektionszuwächse.

Bekämpfung, Inkubationszeit und Regelkreis

Im SI-Modell steigt der Infektionsstrom dI/dt von rI0(1-I0/N) bis zum Maximum rN/4. Überschreitet dieser Strom die medizinischen Möglichkeiten, nennt der Artikel zwei grundlegende Gegenmaßnahmen: die Replikationsrate r wird durch Hygienemaßnahmen, Abstand und ähnliche Maßnahmen reduziert, oder die Zahl der Gesunden wird durch Immunisierung, etwa Impfung, verringert.

Bei einem Abfall von r auf r2=r/7 zum Zeitpunkt ts=10 d, noch vor dem Wendepunkt tw=20 d, entsteht in I(t) ein Knick zu einem flacheren Verlauf. Ein neuer Wendepunkt liegt näherungsweise bei tws≈ts<tw. Die zweite Infektionskurve beginnt mit I2(0)=I1(tws), und ihr maximaler Infektionsstrom beträgt r2N/4 und ist damit kleiner als r1N/4. Die vollständige Infizierung wird dadurch nur verzögert; eine zweite und weitere Wellen können folgen, solange r>0 und noch Infizierte vorhanden sind.

Ein vollständiger Abbruch der Ausbreitung ist im SI-Modell nur bei r=0 möglich, was einem absoluten Lockdown entspricht. Als kontrollierter Verlauf wird deshalb ein lineares Wachstum betrachtet:

dI3/dt=k=const., d²I3/dt²=0,

I3(t)=k·t+I30 und R_RKI=1. Dieses lineare Wachstum bleibt vor der zweiten Wende unter dem exponentiellen Wachstum. Wird der Zwang beendet, setzt sich die exponentielle Entwicklung erneut fort. Der lineare Zustand ist daher ein labiles Gleichgewicht.

Die Inkubationszeit ti bewirkt eine Zeitverschiebung zwischen tatsächlicher und registrierter Infektion. Zum Zeitpunkt t wird nur I(t-ti) erkannt, nicht I(t). Während dieser Verzögerung kann die Zahl der Infizierten weiter wachsen; Maßnahmen wirken deshalb verspätet. Die Kurven der wahren Infizierten IW(t) und der registrierten Infizierten IR(t) sind im Modell identisch, aber um ti gegeneinander verschoben. Für eine möglichst genaue Registrierung sollte gelten IR(t-ti)=IR(t). Für die Belastung des Gesundheitswesens wird stattdessen eine konstante Änderungsrate gefordert:

dIC/dt=C=const.>0.

Die Bekämpfung lässt sich als Regelkreis beschreiben. Die registrierte Gesellschaft ist die Regelstrecke, Medizin und Politik bilden den Regler. Regelgröße ist dI/dt; Stellgrößen sind der Abbruch von Infektionsketten k und die Strenge der Hygienemaßnahmen, ausgedrückt durch r. Die maximal zulässige Änderungsrate dI/dt|max ist die Führungsgröße. Störgrößen sind zugeführte Infizierte z und eine Zunahme von r durch mangelnde Einhaltung der Hygienemaßnahmen. Messung, Auswertung, Maßnahmenplanung, rechtliche Bestätigung und gesellschaftliche Umsetzung erzeugen weitere Totzeiten. Zusammen mit der Inkubationszeit erschweren diese Totzeiten die Stabilität des Regelkreises; ihr Einfluss wird durch den Faktor e^(r·tot)>1 beschrieben.

Erweiterte Modelle und Lockdown-Varianten

Um Infektionskettenabbruch und Zufuhr oder Entnahme von Infizierten zu berücksichtigen, wird DG-0 um k ergänzt. Dabei gilt k=z-e; k>0 bedeutet eine summarische Zufuhr, k<0 eine summarische Entnahme:

dI/dt=k+r·I(t)·(1-I(t)/N) (DG-1).

Für k<0 können sich Infektionen und Kettenabbrüche ausgleichen. Dann bleibt I(t) konstant, obwohl fortlaufend neue Personen infiziert und andere aus dem Infektionsgeschehen entnommen werden. Die Gesamtzahl aller bisher Infizierten wächst dabei linear: Igesamt(t)=I0+k·t. Die Gleichgewichtslösungen sind

I1/2=N/2±√[(N/2)²+Nk/r]=N/2·(1±w), mit w=√(1+4k/(Nr)).

Sie sind reell, wenn k≥kmin=-Nr/4. Für einen Stillstand zum Anfangszeitpunkt gilt k0=-r·I0·(1-I0/N). Im betrachteten Bereich gilt N≫I0 und damit 0>k0>kmin. Für r=0,2297/d, I0=1 und N=100 ergeben sich k0=-0,2274/d und kmin=-5,744/d. Im Artikel werden für das klassische SI-Modell etwa 40 d bis zur vollständigen Infizierung und für DG-1 etwa 436 d angegeben.

DG-2 berücksichtigt zusätzlich, dass sich die wirksame Gesamtpopulation durch den k-Term verändert:

dI/dt=k+r·I(t)·[1-I(t)/(N+kt)].

DG-2 ist sachlich korrekter als DG-1, muss aber numerisch gelöst werden. Für I(t)≪N geht DG-2 in DG-1 über.

Für kleine Infiziertenzahlen gilt die Näherung DG-3:

dI/dt=k+rI(t),

mit der Lösung I(t)=[(k+rI0)e^(rt)-k]/r, dem kritischen Wert k0=-rI0 und Iges=I0+k·t. Bei k=0 entsteht reines exponentielles Wachstum. Der Kettenabbruch ist organisatorisch und personell begrenzt. Als Näherung für die maximal behandelbare Infektionsrate wird angegeben:

Rinf≈Durchschnittliches Verhältnis (aktuelle Infiziertenanzahl/aktuell belegte ITS-Betten)·(verfügbare ITS-Betten/Belegdauer der ITS-Betten).

Bei maximaler Bettenbelegung folgt Rinf-max≈aktuelle Infiziertenanzahl/Belegdauer der ITS-Betten. Für Deutschland wurden am 12. Dezember 2020 etwa 300.000 Infizierte und eine Belegdauer von 32±15 Tagen genannt; daraus ergibt sich Rinf-max≈9.400/d. Der Mittelwert der täglich Infizierten von Oktober bis November 2020 lag bei 17.000/d.

Im Gedankenexperiment wird für einen harten Lockdown r=0 gesetzt. Die Lockdowndauer beträgt näherungsweise

tLD≈(Imax-Imin)/kmax≈Imax/kmax,

mit Verzögerungen näherungsweise

tLD≈(Imax+kmax·tV-Imin)/(kmax-rImax)≈Imax/kmax+tV.

Der Lockdown muss vorausschauend beginnen, bevor die Belastungsgrenzen erreicht sind. Unterschieden werden harter, leichter und kritischer Lockdown sowie der Katastrophenfall. Im Beispiel gelten r=0,05/d, Imin=5, k0=-0,25/d, ΔI=2, k1=-0,1/d und t1=10 d. Nach mehreren Störungen steigt der Gesamtwert k von 0,25/d auf 0,55/d. Die berechneten Lockdowndauern betragen 40 d beim harten, 45,5 d beim leichten und 54,5 d beim kritischen Lockdown. Der Katastrophenfall erfordert einen harten Lockdown. Für Deutschland wird am 19. Dezember 2020 bei r=0 eine Dauer von 35(+10) Tagen genannt, zuzüglich Inkubations- und weiterer Verzögerungszeiten.

Impfung, Mikromodell und Gesamtaussagen

Beim Infektionskettenabbruch werden Infizierte entnommen; beim Impfen werden Gesunde aus der empfänglichen Population entfernt. Für eine konstante Impfgeschwindigkeit m gilt M(t)=m·t und

N=I(t)+S(t)+m·t.

Daraus folgt DG-4:

dI/dt=r·I(t)·[1-(I(t)+m·t)/N].

DG-4 kann nur numerisch gelöst werden. Mit kleinerer Replikationsrate r wird die Impfgeschwindigkeit m wirksamer und das spätere Infiziertenniveau I(∞) kleiner. Je größer m ist, desto schneller wird dieses niedrige Niveau erreicht; außerdem wird der Infiziertenverlauf verzögert und abgeflacht.

Die mikroskopische Betrachtung verwendet N=100 und I0=10 sowie r=0,3/d. Im dynamisch konstanten Zustand müssen täglich 3 neue Infizierte durch Kettenabbruch entnommen werden: 10+0,3·10-3=10. Daher ist k0=-rI0=-3/d. Bei k=-2/d wächst die Folge der Infizierten 10; 11; 12,3; 13,99; 16,187; 19,0431; 22,75603 usw. Bei k=-4/d fällt sie als 10; 9; 7,7; 6,01; 3,813; 0,9569 und erreicht danach null. Der Gleichgewichtszustand ist somit labil. Auch eine Änderung von r führt bei konstantem k zum Ausbrechen nach oben oder unten: r=0,35/d erzeugt eine steigende, r=0,25/d eine fallende Folge.

Für die Differenzengleichung gilt bei Δt=1 d und m=1+r:

I_{t}=(k/r+I0)(1+r)^t-k/r für t=0,1,2,… .

Die Replikationsraten der Differential- und Differenzengleichung stehen in Beziehung r1=ln(1+r2); kleine Replikationsraten sind nahezu gleich. Für den harten Lockdown mit r=0 gilt I(t)=I0+k·t und ΔI/Δt=k, also ein linearer Abfall.

Zusammengefasst beschreibt DG-0 die natürliche SI-Ausbreitung, DG-1 ergänzt einen konstanten Zu- oder Abfluss k, DG-2 berücksichtigt die dadurch veränderte Population, DG-3 ist die Näherung für I≪N und DG-4 beschreibt Impfung mit der Geschwindigkeit m. Das Modell kann den Infiziertenverlauf durch Kettenabbruch und Hygienemaßnahmen qualitativ zu einem nahezu linearen Verlauf mit annähernd konstanter Belastung zwingen. Die vollständige Infizierung wird dadurch nicht verhindert, aber verzögert. Störungen und Totzeiten können zu Wellen, Lockdowns und stufenweise zunehmenden linearen Anstiegen führen. Ein Rückgang auf ein niedrigeres Belastungsniveau ist im dargestellten Regelungsmodell nur durch Immunisierung, insbesondere Impfung, möglich.