Totzeit (Regelungstechnik) – einfach erklärt

Kernidee und Bedeutung

Als Totzeit, auch Laufzeit oder Transportzeit genannt, bezeichnet man in der Regelungstechnik die Zeitspanne zwischen einer Signaländerung am Eingang einer Regelstrecke und der entsprechenden Signalantwort am Ausgang. Ein System, das nur diese Verzögerung und kein zusätzliches Zeitverhalten besitzt, heißt Totzeitglied. Im Zeitbereich gilt für ein solches Glied: y(t)=u(t−T_t). Das Eingangssignal erscheint also um die Totzeit T_t verzögert, aber unverändert am Ausgang.

Totzeit entsteht zum Beispiel durch reine Transportvorgänge wie Förderbänder oder Rohrleitungen oder durch Signallaufzeiten bei großen Entfernungen. Für Regelkreise ist sie wichtig, weil sie die Phasenlage des Ausgangssignals verändert, ohne den Betrag zu dämpfen. Dadurch kann ein ursprünglich stabiler Regelkreis instabil werden: Die Rückführung kann sich je nach Kreisverstärkung von Gegenkopplung in Mitkopplung verwandeln.

Totzeitglieder lassen sich nicht durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben. Ihre Übertragungsfunktion ist eine transzendente Funktion: G(s)=e^(−s·T_t). Das erschwert die algebraische Reglerauslegung, weil solche Funktionen nicht wie gebrochen rationale Übertragungsfunktionen mit Polynomen kombiniert werden können. Deshalb werden in der Praxis oft Näherungsmodelle oder numerische Verfahren verwendet.

Mathematische Beschreibung und Frequenzverhalten

Die Übertragungsfunktion eines linearen dynamischen Systems ist allgemein der Quotient aus der Laplacetransformierten der Ausgangsgröße Y(s) und der Eingangsgröße U(s): G(s)=Y(s)/U(s). Für ein reines Totzeitglied lautet sie G(s)=e^(−s·T_t).

Die Sprungantwort eines Totzeitgliedes ist a(t)=σ(t−T) mit a(t)=0 für t<T und a(t)=1 für t≥T. Das bedeutet: Vor Ablauf der Totzeit passiert am Ausgang nichts; danach erscheint der Sprung unverändert.

Zur Untersuchung des Frequenzverhaltens setzt man s=jω. Dann gilt G(jω)=e^(−jω·T_t). Daraus folgt direkt der Phasenwinkel φ(ω)=−ω·T_t. Mit ω=2πf ergibt sich φ(f)=−2πf·T_t. Ein reines Totzeitglied hat die Verstärkung 1 beziehungsweise die Dämpfung D=0 dB. Es verändert also nicht die Amplitude, sondern nur die Phase.

Im Unterschied zu einem PT1-Verzögerungsglied, dessen Phasenverschiebung höchstens −90° beträgt, wächst die nacheilende Phasenverschiebung eines Totzeitgliedes mit steigender Frequenz unbegrenzt weiter. Totzeitglieder sind Nichtphasenminimumsysteme. Ein lineares dynamisches System ist phasenminimal, wenn seine Pole und Nullstellen in der linken s-Halbebene liegen und es keine Totzeit aufweist.

Stabilität im offenen Kreis

Zur Stabilitätsuntersuchung betrachtet man häufig den aufgeschnittenen Regelkreis. Dabei werden das Bode-Diagramm und die Ortskurve des Frequenzgangs verwendet. Die Übertragungsfunktion G(s) mit s=δ+jω kann ohne Informationsverlust in den Frequenzgang G(jω) oder F(jω) übertragen werden.

Im Bode-Diagramm werden Amplitudengang und Phasengang getrennt dargestellt. Beim Amplitudengang wird der Betrag über der Kreisfrequenz ω aufgetragen, beim Phasengang der Phasenwinkel über ω. Für Totzeitglieder gilt: Der Amplitudengang bleibt bei der Verstärkung 1, der Phasengang wird mit wachsender Frequenz immer stärker nacheilend.

Das vereinfachte Nyquist-Kriterium lautet: Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K=1 größer als −180° ist. Der Abstand zur −180°-Linie heißt Phasenrand oder Phasenreserve und sollte etwa 50° ±10° betragen. Ist der Amplitudengang in Dezibel dargestellt, entspricht 0 dB dem Amplitudenverhältnis 1 und 20 dB dem Amplitudenverhältnis 10.

Bei der Ortskurve wird der Frequenzgang als komplexe Größe in Realteil und Imaginärteil dargestellt. Nach Nyquist ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn beim Durchlaufen der Ortskurve des offenen Kreises F_0(jω) in Richtung steigender ω der kritische Punkt (−1; j0) auf der linken Seite der Realachse nicht umschlungen oder berührt wird. Aus praktischen Gründen kann man den kritischen Punkt auf (−0,5; j0) verlegen, um eine Stabilitätsreserve zu erhalten.

Numerische Berechnung und Ersatzmodelle

Da Regelkreise mit Totzeit und nichtlinearen Elementen im kontinuierlichen Zeitbereich oft nicht geschlossen lösbar sind, werden sie numerisch berechnet. Dabei ersetzt man Differentiale durch kleine Differenzenquotienten Δy/Δt mit einer diskreten Zeit Δt. Die Berechnung läuft schrittweise für k=(0;1;2;3;…;k_max). Zu Beginn jeder Berechnungszeile steht zum Beispiel die Regelabweichung e_(k)=w_(k)−y_(k−1).

Für Simulationen können Programme wie Matlab und Simulink genutzt werden. Alternativ sind eigene Programme oder Tabellenkalkulationen mit Differenzengleichungen möglich. In Tabellenkalkulationen kann die Totzeit über die INDEX-Funktion realisiert werden, indem ein früherer Wert einer Spalte ausgewählt wird. Für die Totzeitberechnung auf eine Spalte wird sinngemäß ein Wert aus einem Spaltenbereich mit einem Bezug verwendet, der um T_t/Δt zurückliegt.

Wenn eine gebrochen rationale Beschreibung der Totzeit gewünscht ist, können Näherungsmodelle verwendet werden. Eine Möglichkeit ist die Padé-Approximation durch Allpassglieder. Bereits drei identische Allpassglieder (n=3) liefern nach dem Artikel gute Ergebnisse. Allgemein wird angegeben: G_TtM1(s)=((1−(T_t/(2n))·s)/(1+(T_t/(2n))·s))^n mit n→∞. Für T_t=2 s und n=3 ergibt sich näherungsweise ((1−0,333·s)/(1+0,333·s))^3.

Eine zweite Näherung nutzt PTn-Glieder. Bereits ab n=5 PT1-Gliedern mit gleichen Zeitkonstanten lässt sich eine gute Annäherung erreichen: G_TtM2=1/((T_t/n·s+1)^n) mit n→∞. Für T_t=2 s und n=5 ergibt sich G_TtM2(s)≈1/(0,4·s+1)^5.

Systemanalyse mit Sprungantwort

Zur Analyse einer Regelstrecke mit Totzeit eignet sich die Sprungantwort, weil sie einfach durchzuführen ist und ein gut erkennbares Ergebnis liefert. Bei Regelstrecken mit Ausgleich kann die zeitunabhängige Streckenverstärkung K_S im statischen Zustand direkt abgelesen werden. Das Zeitverhalten lässt sich durch ein Modell aus Totzeit und S-förmigem Anstieg des Einschwingvorgangs bestimmen.

Für eine Modellregelstrecke mit Ausgleich gelten mehrere Anforderungen: Die Sprungantwort des Modells soll möglichst deckungsgleich mit der wirklichen Regelstrecke sein; die Modellübertragungsfunktion soll sich gut zur Parametrierung eines Standardreglers, zum Beispiel eines PID-Reglers, eignen; und das Verfahren soll für Regelstrecken ab 2. Ordnung mit und ohne Totzeit anwendbar sein.

Da ein PID-Regler in Produktdarstellung zwei PT1-Verzögerungen kompensieren kann, wird als Modell eine Reihenschaltung aus einem schwingungsfreien PT2-Glied und einem Totzeitglied gewählt: G_SM(s)=e^(−T_u·s)/(T_M·s+1)^2. Die Verzugszeit T_u wird aus der Tangente am Wendepunkt der Sprungantwort bestimmt. Der Parameter T_M wird mit der heuristischen Methode „Versuch und Irrtum“ so lange variiert, bis der S-förmige Anstieg der Modellantwort mit der realen Sprungantwort übereinstimmt. Dann gelten die Ersatztotzeit T_tE=T_u und die Ersatzzeitkonstanten T_M des PT2-Gliedes.

Regelung von Strecken mit Totzeit

Regelstrecken mit großem Totzeitanteil gelten oft als schwierig. Der Artikel betont jedoch: Sie sind nicht grundsätzlich schwerer zu regeln als Strecken mit kleiner Totzeit, aber die Dynamik des Regelkreises wird mit steigender Totzeit ungünstiger. Spezialstrukturen wie der Smith-Prädiktor können helfen.

Enthält die Regelstrecke neben PT1-Gliedern eine im Verhältnis zu einer dominanten Zeitkonstante T nennenswerte Totzeit T_t, ist ein I-Glied im Regelkreis notwendig. Eine reine Totzeitstrecke kann, abgesehen von Spezialreglern, nur mit einem I-Regler geregelt werden. Für eine Regelstrecke G_s(s)=e^(−T_t·s) und einen Regler G_R(s)=K/s=k_1/(T_t·s) gilt die Kreisverstärkung K=k_1/T_t. Der frei wählbare Faktor k_1 bestimmt das Einschwingverhalten.

Numerische Berechnungen liefern typische Zusammenhänge: Bei k_1=0,7 beträgt die Überschwingung etwa 20 % und die Anregelzeit T_A≈2,5·T_t. Bei k_1=0,6 beträgt die Überschwingung etwa 10 % und T_A≈3·T_t. Bei k_1=0,5 beträgt die Überschwingung etwa 4 % und T_A≈3,8·T_t. Für Grenzstabilität wird als Beispiel genannt: Bei T_t=1 s ergibt sich K=1,566; bei T_t=2 s der halbe Wert K=0,783.

Bei Regelstrecken mit Totzeit und zusätzlichen PT1-Gliedern kann man die PT1-Verzögerungen durch PD1-Glieder des Reglers kompensieren. Ideale PD1-Glieder sind technisch nicht herstellbar; reale PD1-Glieder besitzen parasitäre Verzögerungen, deren Zeitkonstanten in der Praxis etwa ein Zehntel der PD1-Zeitkonstanten betragen. Für eine Strecke G_S(s)=e^(−T_t·s)/((T_1·s+1)(T_2·s+1)) ist ein idealer PID-Regler mit zwei PD1-Gliedern und einem I-Glied geeignet. Für etwa 10 % Überschwingung ergibt sich K=0,6/T_t und die Anregelzeit T_A≈3·T_t.