Rotationsenergie

Grundidee

Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Körpers, der rotiert, zum Beispiel eines Schwungrads. Ein starrer Körper ist ein idealisierter Körper, dessen Form sich bei der Bewegung nicht verändert. Die Rotation kann um einen festen Punkt oder um den beweglichen Massenmittelpunkt stattfinden. In diesen Fällen lässt sich die gesamte kinetische Energie in zwei Anteile zerlegen: translatorische Energie für die Bewegung des Körpers als Ganzes und Rotationsenergie für seine Drehbewegung.

Die Rotationsenergie hängt vom Trägheitsmoment und von der Winkelgeschwindigkeit ab. Das Trägheitsmoment beschreibt, wie stark die Masse eines Körpers gegenüber einer Drehung um eine bestimmte Achse verteilt ist. Je weiter die Masse im Durchschnitt von der Rotationsachse entfernt liegt, desto größer ist das Trägheitsmoment. Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Körper dreht. Anschaulich bedeutet das: Wenn viel Masse weit außen liegt, steckt bei gleicher Drehgeschwindigkeit mehr Energie in der Rotation; beim Abbremsen der Rotation kann dann mehr Energie abgegeben werden.

Rotationsenergie ist unter anderem wichtig bei Turbinen, Generatoren, Rädern und Reifen, Wellen sowie Propellern.

Trägheitsmoment und Formel

Für einen Körper, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die x-Achse rotiert, gilt für die Rotationsenergie:

E_rot = 1/2 · J_x · ω²

Dabei ist J_x das Trägheitsmoment des Körpers um die x-Achse und ω die Winkelgeschwindigkeit. Die Formel zeigt zwei wichtige Zusammenhänge: Verdoppelt man die Winkelgeschwindigkeit, vervierfacht sich die Rotationsenergie, weil ω quadratisch eingeht. Außerdem ist die Rotationsenergie bei gleicher Winkelgeschwindigkeit umso größer, je größer das Trägheitsmoment ist.

Allgemeiner kann die Rotationsenergie mit Vektoren und dem Trägheitstensor beschrieben werden:

E_rot = 1/2 · ω⃗ · J · ω⃗ = 1/2 · Σ_{α,β=1}^{3} J_{αβ} · ω_α · ω_β

Der Trägheitstensor J fasst die Trägheitsmomente und Deviationsmomente eines Körpers zusammen. Die Trägheitsmomente sind die Einträge mit α = β, die Deviationsmomente die Einträge mit α ≠ β. Die Größen ω_α sind die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in derselben Orthonormalbasis. In einem körperfesten Bezugssystem, also einem Koordinatensystem, das sich mit dem Körper mitbewegt, sind der Trägheitstensor sowie die Trägheits- und Deviationsmomente konstant. In anderen Bezugssystemen sind sie meist zeitabhängig.

Für eine beliebige Rotationsachse mit dem Einheitsvektor n⃗ und |n⃗| = 1 wird die Winkelgeschwindigkeit als ω⃗ = ω · n⃗ geschrieben. Mit den Komponenten n_1, n_2, n_3 gilt dann:

E_rot = 1/2 · Σ_{α,β=1}^{3} J_{αβ} · n_α · n_β · ω² = 1/2 · J_n · ω²

Dabei ist J_n das Trägheitsmoment bezüglich der Achse n⃗:

J_n = Σ_{α,β=1}^{3} J_{αβ} · n_α · n_β = n⃗ · J · n⃗

Beispiele

Ein anschauliches Beispiel ist der Vergleich zweier gleich schwerer Kugeln mit gleichem Radius auf einer schiefen Ebene. Eine Kugel ist massiv und besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff. Die andere Kugel ist hohl, besteht aber aus dichterem und daher schwererem Material, sodass beide Kugeln insgesamt gleich schwer sind. Die hohle Kugel rollt langsamer, weil ihre Masse auf einer dünnen Schale in größerem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel rollt schneller, weil ein größerer Anteil ihrer Masse näher an der Rotationsachse liegt. Dadurch muss diese Masse auf ihrer Kreisbahn weniger schnell bewegt werden. Bei der massiven Kugel wird deshalb weniger Lageenergie in Rotationsenergie und mehr in translatorische Energie umgewandelt.

Für eine massive Kugel mit Radius r und Masse m gilt das Trägheitsmoment J = 2/5 · m r². Wenn sie mit der Geschwindigkeit v auf einer Ebene rollt, ist ihre Winkelgeschwindigkeit ω = v/r. Die gesamte kinetische Energie ist dann die Summe aus translatorischer und rotatorischer Energie:

E_kin = E_trans + E_rot = 1/2 m v² + 1/2 · 2/5 m r² · ω² = 7/10 m v²

Ein weiteres Beispiel behandelt einen Körper, der um die Diagonale durch seine xy-Fläche rotiert. Die Richtung der Drehachse wird durch n⃗ = 1/√2 · (1, 1, 0)^T beschrieben, und die Winkelgeschwindigkeit ist ω⃗ = ω · n⃗. Für das Trägheitsmoment bezüglich dieser Drehachse folgt:

J_n = 1/2 · (J_11 + J_12 + J_12 + J_22)

Damit ergibt sich die Rotationsenergie:

E_rot = 1/2 · J_n · ω² = 1/4 · (J_11 + J_12 + J_12 + J_22) · ω²

Zusammenhang mit Drehimpuls

Die Rotationsenergie kann auch mithilfe des Drehimpulses beschrieben werden. Der Drehimpuls L⃗_s bezieht sich hier auf den Massenmittelpunkt s⃗. Er ist mit dem Trägheitstensor J_s und der Winkelgeschwindigkeit verknüpft durch:

L⃗_s = J_s · ω⃗

Damit lässt sich die Rotationsenergie auf drei gleichwertige Arten schreiben:

E_rot = 1/2 · ω⃗ · J_s · ω⃗ = 1/2 · ω⃗ · L⃗_s = 1/2 · L⃗_s · J_s^{-1} · L⃗_s

J_s^{-1} ist die Inverse des Trägheitstensors J_s; sie existiert immer. Wichtig ist, dass Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht parallel zueinander stehen. Parallel sind sie nur in besonderen Fällen, zum Beispiel bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse. Eine Hauptträgheitsachse ist eine Achse, bei der die Drehbewegung besonders einfach beschrieben werden kann, weil sich Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit in dieselbe Richtung orientieren.

Herleitung der Energieaufteilung

Die Herleitung betrachtet einen starren Körper als System einzelner Massenpunkte mit Massen m_i an Orten r⃗_i in einem körperfesten Bezugssystem. Dieses Bezugssystem befindet sich im Inertialsystem am Ort b⃗(t). Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig und gleichförmig bewegen. Für die allgemeine Bewegung starrer Körper gilt die eulersche Geschwindigkeitsgleichung:

v⃗(r⃗,t) = b⃗˙(t) + ω⃗(t) × r⃗

Hier ist ω⃗ die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers, b⃗˙ die Geschwindigkeit des Bezugspunkts b⃗, und beide Größen dürfen von der Zeit t abhängen. Die räumliche Position eines Massenpunkts ist x⃗ = b⃗ + r⃗.

Setzt man diese Geschwindigkeit in die Formel der kinetischen Energie ein, erhält man drei Beiträge: die translatorische Energie E_trans = 1/2 · m · b⃗˙², die Rotationsenergie E_rot = 1/2 · Σ_i m_i (ω⃗ × r⃗_i)² und einen Kopplungsterm m · ω⃗ · (s⃗ × b⃗˙). Dabei ist m = Σ_i m_i die Gesamtmasse und s⃗ = 1/m · Σ_i m_i r⃗_i der Massenmittelpunkt im körperfesten Bezugssystem.

Der Kopplungsterm verschwindet unter bestimmten Bedingungen: wenn der Massenmittelpunkt im Ursprung oder auf der Drehachse liegt, wenn das körperfeste System ruht oder sich entlang der Drehachse bewegt, wenn sich der Bezugspunkt in Richtung des Massenmittelpunkts bewegt, sowie im trivialen Fall mω⃗ = 0. In den ersten drei Fällen spaltet sich die kinetische Energie in translatorische und rotatorische Energie auf; für die Kreiseltheorie sind vor allem die ersten beiden Fälle wichtig.

Mit der Lagrange-Identität (ω⃗ × r⃗_i)² = (ω⃗ · ω⃗)(r⃗_i · r⃗_i) − (ω⃗ · r⃗_i)² und dem dyadischen Produkt ⊗ ergibt sich:

E_rot = 1/2 · ω⃗ · Θ_b · ω⃗ = 1/2 · ω⃗ · L⃗_b

Dabei ist Θ_b = Σ_i m_i[(r⃗_i · r⃗_i)1 − r⃗_i ⊗ r⃗_i] der Trägheitstensor des starren Körpers bezüglich b⃗, L⃗_b = Θ_b · ω⃗ sein Eigendrehimpuls bezüglich b⃗ und 1 der Einheitstensor. Im körperfesten System ist dieser Trägheitstensor konstant; im Inertialsystem ist er meist nicht konstant, wenn sich der Körper dreht.