Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid

Kernaussage und Beweisprinzip

Die Quadratwurzel aus 2, \sqrt{2}, ist irrational. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Der in Euklids „Elementen“, Buch X, Proposition 117, überlieferte zahlentheoretische Beweis verwendet einen Widerspruchsbeweis, auch „Reductio ad absurdum“ genannt: Man nimmt zunächst das Gegenteil der Behauptung an und zeigt dann, dass daraus ein logischer Widerspruch folgt.

Der Beweis gilt als einer der ersten Widerspruchsbeweise der Mathematikgeschichte und wird bereits von Aristoteles in den „Analytica priora“ als Beispiel für dieses Verfahren erwähnt. Allerdings wird allgemein angenommen, dass die betreffende Textstelle später in die „Elemente“ eingefügt wurde und nicht von Euklid selbst stammt. In modernen Ausgaben ist sie deshalb nicht mehr enthalten.

Irrationale Größenverhältnisse waren bereits Archytas von Tarent bekannt, der den Satz in allgemeinerer Form bewies. Ein geometrischer Beweis dafür, dass die Diagonale und die Seite eines Quadrats oder eines regelmäßigen Fünfecks keine gemeinsame Maß-Teilstrecke besitzen, wurde schon im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. von Hippasos von Metapont gefunden. Die frühere Annahme, diese Entdeckung habe das gesamte Weltbild der Pythagoreer erschüttert, entspricht nach heutigem Forschungsstand nicht den Tatsachen.

Klassischer Widerspruchsbeweis

Man nimmt an, \sqrt{2} sei rational. Dann kann die Zahl als vollständig gekürzter Bruch

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

geschrieben werden, wobei p und q teilerfremde ganze Zahlen sind. „Teilerfremd“ bedeutet, dass beide außer 1 keinen gemeinsamen positiven Teiler besitzen.

Durch Quadrieren folgt

\left(\frac{p}{q}\right)^2=2

und damit

p^2=2q^2.

Die rechte Seite ist gerade, also ist auch p^2 gerade. Daraus folgt, dass p selbst gerade ist. Daher gibt es eine ganze Zahl r mit

p=2r.

Eingesetzt in die vorherige Gleichung ergibt das

2q^2=p^2=(2r)^2=4r^2,

also nach Division durch 2

q^2=2r^2.

Somit ist auch q^2 gerade und daher q gerade. Damit sind sowohl p als auch q durch 2 teilbar. Das widerspricht der Voraussetzung, dass der Bruch \frac{p}{q} vollständig gekürzt und p und q teilerfremd sind. Die Ausgangsannahme ist folglich falsch; daher ist \sqrt{2} irrational.

Verallgemeinerung und Satz von Gauß

Die Beweisidee lässt sich auf die k-te Wurzel einer natürlichen Zahl n übertragen: Ist n keine k-te Potenz, lässt sich also nicht als n=z^k mit einer natürlichen Zahl z darstellen, dann ist

\sqrt[k]{n}

irrational.

Für den allgemeinen Beweis ersetzt man die Gerade-Ungerade-Argumentation durch die eindeutige Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Angenommen,

\sqrt[k]{n}=\frac{a}{b}

mit natürlichen Zahlen a,b. Dann gilt nach Umformung

n\cdot b^k=a^k.

Für eine beliebige Primzahl p bezeichnen e_n, e_a und e_b ihre jeweiligen Vielfachheiten in den Primfaktorzerlegungen von n, a und b. Es folgt

e_n+k\cdot e_b=k\cdot e_a.

Wegen e_n\geq 0 gilt e_b\leq e_a. Da dies für jede Primzahl gilt, ist b ein Teiler von a. Somit ist \frac{a}{b} eine natürliche Zahl und n deren k-te Potenz. Ist n keine solche Potenz, kann die angenommene rationale Darstellung also nicht existieren.

Eine unmittelbare Folgerung lautet: \sqrt[n]{n} ist für jede natürliche Zahl n>1 irrational, weil n nicht die n-te Potenz einer natürlichen Zahl größer als 1 sein kann.

Ein auf Gauß zurückgehender allgemeiner Lehrsatz besagt: Jede rationale Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten und Leitkoeffizient 1 ist bereits eine ganze Zahl. Daraus folgt für natürliche Zahlen m und n, dass \sqrt[n]{m} entweder ganzzahlig oder irrational ist. Für paarweise verschiedene Primzahlen p_1,p_2,\ldots,p_k mit k\in\mathbb{N} ist insbesondere die Quadratwurzel ihres Produkts irrational.

Dedekinds Beweis über die Wohlordnung

Richard Dedekind gab in seiner Vorlesung über Differential- und Integralrechnung von 1861/62 einen anderen Beweis für die Irrationalität von \sqrt{2}. Er vermeidet Teilbarkeitsargumente und verwendet stattdessen binomische Formeln sowie die Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Wohlordnung bedeutet hier: Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element.

Man nimmt zum Widerspruch an, es gebe m,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\} mit \sqrt{2}=\frac{n}{m}. Dann ist die Menge

A:=\{m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\mid 2m^2\text{ ist eine Quadratzahl}\}

nicht leer. Wegen der Wohlordnung besitzt sie ein kleinstes Element x=\min(A). Dazu existiert ein y\in\mathbb{N} mit

y^2=2x^2 und 0<x<y.

Aus der binomischen Umformung

2x^2=[x+(y-x)]^2=x^2+2x(y-x)+(y-x)^2

folgt

x^2-2x(y-x)+(y-x)^2=2(y-x)^2.

Die linke Seite ist ein vollständiges Quadrat, also gilt

|2x-y|^2=[x-(y-x)]^2=2(y-x)^2.

Damit gehört auch y-x zur Menge A. Wegen 0<x<y und y^2=2x^2 ist jedoch 0<y-x<x. Somit enthält A ein Element, das kleiner als ihr angeblich kleinstes Element x ist. Dieser Widerspruch widerlegt die Annahme und beweist ebenfalls, dass \sqrt{2} irrational ist.