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Quadratur des Polygons
Die Quadratur des Polygons oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie. Sie besteht darin, mit den euklidischen …
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Grundidee der Aufgabe
Die Quadratur des Polygons ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie. Gesucht ist zu einem gegebenen konvexen oder konkaven Polygon ein Quadrat mit gleich großer Fläche. Die Konstruktion darf nur mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal erfolgen.
Der Artikel behandelt ausschließlich das konvexe unregelmäßige Polygon. Als Beispiel für die Methode dient ein unregelmäßiges Fünfeck KLMNO. Die Quadratur des Rechtecks wird nicht behandelt, sondern in einem separaten Artikel beschrieben.
Mathematische Grundlage
Johann Friedrich Lorenz beschreibt die Lösung 1781 in seinem Buch Euklids Elemente unter der Aufgabe, in einer gegebenen geradlinigen Figur A ein Quadrat gleich zu machen.
Für die Konstruktion werden drei Sätze beziehungsweise Verfahren aus Euklid verwendet: die Umwandlung eines Dreiecks in ein flächengleiches Parallelogramm, die Umwandlung einer geradlinigen Figur in ein flächengleiches Parallelogramm und der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck.
Wichtig ist dabei der Begriff der Flächengleichheit: Figuren können verschieden aussehen, aber denselben Flächeninhalt haben. In den beschriebenen Umformungen stimmen die beteiligten Parallelogramme jeweils in einer Seite und der zugehörigen Höhe überein; deshalb sind sie flächengleich.
Zerlegung des Polygons
Bei einem konvexen Polygon mit mehr als vier Seiten wird die Fläche zuerst in Dreiecke zerlegt. Dazu wählt man eine Polygonecke frei aus, im Beispiel den Punkt O, und zieht von dort Diagonalen. Beim Fünfeck KLMNO entstehen so die drei Dreiecke KLO, LMO und MNO; das ist die kleinstmögliche Anzahl von Dreiecken.
Anschließend werden die Dreieckshöhen eingezeichnet: PK, QM und RN. Diese Höhen werden halbiert; dadurch entstehen die Schnittpunkte S, T und U. Danach wird die Diagonale LO, alternativ auch MO, als Strecke BE auf einer Geraden abgetragen.
Für ein Dreieck gilt die Flächenformel F = a · h / 2. Beim gelben Dreieck KLO entspricht a der Diagonale LO und h der Strecke PK. Daraus wird eine flächengleiche Rechteckfläche konstruiert, im Artikel als F = BE · BS1 beschrieben. Entsprechend wird auch das rote Dreieck LMO in ein flächengleiches rotes Rechteck T1WVS1 umgewandelt.
Umwandlung zum Rechteck
Etwas aufwendiger ist die Umwandlung des grünen Dreiecks MNO. Seine Grundlinie MO ist kürzer als die Seitenlänge T1W, die bei der weiteren Konstruktion verwendet werden soll. Deshalb wird das Dreieck zuerst in das rot-blaue Rechteck U1ZM1T1 umgewandelt und danach noch einmal in ein Rechteck mit der Seitenlänge T1W.
Dazu wird der Punkt U1 mit W verbunden, und die Strecke EW wird etwas verlängert. Dann konstruiert man ab Z eine Parallele zur Strecke U1W; ihr Schnittpunkt heißt D. Anschließend wird ab D eine Parallele zur Strecke T1W gezeichnet. Dadurch entsteht das grüne Rechteck CDWT1, das dieselbe Fläche hat wie das grüne Dreieck MNO.
Nach diesen Umwandlungen liegen die Flächen der drei Dreiecke als Rechtecke vor. Zusammengesetzt ergeben sie das Rechteck CDEB. Dieses Rechteck ist flächengleich zum ursprünglichen unregelmäßigen Fünfeck KLMNO.
Konstruktion des Quadrats
Im letzten Schritt wird das zusammengesetzte Rechteck CDEB quadriert, also in ein flächengleiches Quadrat umgewandelt. Dazu wird die Seite BE verlängert. Um den Punkt E wird ein Viertelkreis mit dem Radius ED gezeichnet; dadurch entsteht der Schnittpunkt F.
Die Strecke BF wird im Punkt G halbiert. Um G wird dann ein Thaleskreis gezeichnet. Verlängert man die Rechteckseite DE bis zu diesem Thaleskreis, erhält man den Schnittpunkt H.
Die Strecke EH ist die erste Seite des gesuchten Quadrats. Dieses Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie das gegebene unregelmäßige Fünfeck KLMNO.