Pythagoreische Stimmung

Grundprinzip

Die pythagoreische Stimmung, auch quintenreine Stimmung genannt, ist ein Stimmungssystem, bei dem die Tonhöhen durch reine Quinten bestimmt werden. Eine reine Quinte besitzt das Frequenzverhältnis 3 : 2 und umfasst ungefähr 702 Cent. Durch wiederholtes Schichten solcher Quinten nach oben und unten entstehen die benötigten Töne; durch Oktavierung werden sie in eine gemeinsame Oktave eingeordnet.

Bei einer Erweiterung auf zwölf Töne entstehen 11 reine Quinten in der Folge Es–B–F–C–G–D–A–E–H–Fis–Cis–Gis. Der Quintenzirkel schließt sich jedoch nicht mit einer weiteren reinen Quinte. Statt As–Es mit etwa 702 Cent ergibt sich die sogenannte Wolfsquinte Gis–Es mit ungefähr 678 Cent. Diese stark verminderte Quinte ist genau um ein pythagoreisches Komma von etwa 23,46 Cent zu klein.

Entwicklung und Verwendung

Im Früh- und Hochmittelalter verwendete man in den Kirchentonarten die Töne A, H, C, D, E, F und G; H durfte zu B verändert werden. Gestimmt wurde über die reinen Quinten B–F–C–G–D–A–E–H, jeweils passend oktaviert. Da es keinen einheitlichen Kammerton gab, mussten mehrere Instrumente beim gemeinsamen Musizieren häufig transponieren. Weil sich dabei die Lage der Halbtöne veränderte, ergänzte man auf Tasteninstrumenten neben B auch Cis, Es, Fis und Gis. So entstanden zwölf Töne pro Oktave.

Über eine praktische Anwendung der pythagoreischen Stimmung in der Antike ist nichts bekannt. Ihre musiktheoretische Beschreibung wird nach der Legende von Pythagoras in der Schmiede Pythagoras von Samos (um 570 bis 510 v. Chr.) zugeschrieben. Antike Quellen beschreiben das System mehrfach. Platos „Timaios“ nennt bei der Füllung des Quartverhältnisses ausdrücklich das Verhältnis 9 : 8 und das daraus entstehende Limma 256 : 243. Nach Handschin ging es Plato dabei vor allem um die Grundprinzipien des ditonisch-diatonischen Tonsystems und deren philosophische Bedeutung, nicht um Einzelheiten der musikalischen Praxis.

Im Mittelalter war die pythagoreische Stimmung allgemein gebräuchlich. Anfang des 16. Jahrhunderts begann man, in Akkorden neben Oktaven und Quinten auch große Terzen rein zu intonieren. Bei Tasteninstrumenten wurde die pythagoreische Stimmung daher zunehmend von der mitteltönigen Stimmung verdrängt. Heute wird sie vor allem zur Wiedergabe mittelalterlicher Musik und in einigen Fällen auch in moderner Musik eingesetzt.

Diatonische Skala auf C

Für eine diatonische Skala mit dem Grundton C werden die Töne im Abstand reiner Quinten gestimmt:

F – C – G – D – A – E – H.

Diatonisch geordnet ergibt sich die Tonleiter C–D–E–F–G–A–H–C. Bezogen auf C besitzt sie folgende Frequenzverhältnisse:

• C: 1 • D: 9/8 • E: 81/64 • F: 4/3 • G: 3/2 • A: 27/16 • H: 243/128 • C: 2

Die Schritte C–D, D–E, F–G, G–A und A–H sind große Ganztöne mit dem Verhältnis 9 : 8 und jeweils ungefähr 203,9 Cent. Die Schritte E–F und H–C heißen Limma; sie besitzen das Verhältnis 256 : 243 und umfassen jeweils ungefähr 90,2 Cent.

Intervalle und klangliche Folgen

In dieser Stimmung sind Quinten und Quarten rein. Die großen Terzen weichen dagegen von den reinen Terzen der Obertonreihe ab. Die pythagoreische große Terz hat das Frequenzverhältnis 81 : 64 und umfasst ungefähr 407,8 Cent. Eine reine große Terz besitzt das Verhältnis 5 : 4, also 80 : 64, und umfasst ungefähr 386,5 Cent. Die pythagoreische Terz ist damit um das syntonische Komma von 81 : 80 beziehungsweise ungefähr 21,5 Cent zu groß und klingt schärfer.

Der große Ganzton im Verhältnis 9 : 8 ist ein wesentliches Element des quintrein gestimmten Systems. Nach der Darstellung des Artikels entsteht dadurch ein Klangkontinuum, das sich auf einen einzigen Basiston und damit auf eine einzige Obertonreihe beziehen kann. Das System verwendet somit besonders einfache Frequenzverhältnisse.

Abgrenzung zu anderen Stimmungen

Bei der mitteltönigen Stimmung waren nicht alle Tonarten des Quintenzirkels spielbar; außerdem waren manche Modulationen unmöglich. Deshalb verwendete man wohltemperierte Stimmungen. Die heute gebräuchliche gleichstufige Stimmung entsteht, indem jede Quinte des Quintenzirkels um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas verkleinert wird. Dadurch lassen sich die Abweichungen gleichmäßig verteilen. Die gleichstufige Stimmung ist jedoch ein Kompromiss der Intonation, bei dem die Terzen rau erklingen.