Punktprobe

Grundidee und Verfahren

Die Punktprobe ist ein rechnerisches Verfahren, mit dem entschieden wird, ob ein Punkt in einer gegebenen Punktmenge liegt. Man prüft damit, ob Inzidenz vorliegt. Mögliche Punktmengen sind ein Funktionsgraph in einem x-y-Koordinatensystem, eine Gerade in einem zwei- oder dreidimensionalen Koordinatensystem oder eine Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.

Das Vorgehen hängt davon ab, in welcher Form die Punktmenge gegeben ist. Bei einer Koordinatenform steht eine Gleichung mit den Koordinaten x,y oder x,y,z als Variablen. Die Koordinaten des zu prüfenden Punktes werden in diese Gleichung eingesetzt. Entsteht eine wahre Aussage, liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, liegt er nicht in der Punktmenge.

Bei einer Parameterform wird die Punktmenge durch einen Parameter oder bei einer zweidimensionalen Punktmenge durch zwei Parameter beschrieben. Man setzt den Ortsvektor des Punktes mit der Parametergleichung gleich. Dadurch entsteht in der Regel ein überbestimmtes Gleichungssystem, in dem die Parameter die Unbekannten sind. Hat dieses Gleichungssystem eine Lösung, liegt der Punkt in der Punktmenge; gibt es keine Lösung, liegt er nicht darin.

Typische Punktproben

Bei einem Funktionsgraphen wird der Punkt direkt in die Funktionsgleichung eingesetzt. Für P(4|3) und f(x)=x²−3x−1 ergibt sich aus y=x²−3x−1 die Rechnung 3=4²−3·4−1. Da diese Aussage wahr ist, liegt P auf dem Graphen von f.

Für die Gerade g mit y=2x−5 wird der Punkt P(4|7) geprüft. Einsetzen liefert 7=2·4−5. Diese Aussage ist falsch, daher liegt P nicht auf g. Zusätzlich folgt aus 7>3, dass P oberhalb der Geraden g liegt.

Bei der Geraden h in Parameterform x⃗=(2,0)ᵀ+λ·(3,−1)ᵀ, λ∈ℝ, wird der Ortsvektor von P(8|3) eingesetzt. Aus der ersten Koordinate folgt 8=2+3·λ und damit λ=2. Aus der zweiten Koordinate folgt jedoch 3=0−λ und damit λ=−3. Weil es keine reelle Zahl λ gibt, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt, liegt P nicht auf h.

Bei der Ebene 3x₁+7x₂−x₃=2 wird für P(2|1|11) gerechnet: 3·2+7·1−11=2. Die Aussage ist wahr, also liegt P in der Ebene E.

Für die Ebene in Parameterform x⃗=(0,2,−2)ᵀ+s(1,1,1)ᵀ+t(−1,0,1)ᵀ wird P(5|5|−1) eingesetzt. Der Koordinatenvergleich führt zu 5=s−t, 3=s und 1=s+t. Das Gleichungssystem hat die Lösung s=3 und t=−2. Deshalb liegt P in der Ebene E.

Weitere Anwendungen der Punktprobe

Die Punktprobe kann genutzt werden, um aus einem bekannten Punkt P(x₁|y₁) und der Steigung m eine Geradengleichung zu bestimmen. Man beginnt mit y=m·x+c und setzt die Koordinaten von P ein. Durch Auflösen nach dem y-Achsenabschnitt c erhält man c=y₁−m·x₁. Damit lautet die Geradengleichung

y=m·x+y₁−m·x₁ ⇔ y=m·(x−x₁)+y₁.

Diese Darstellung heißt Punktsteigungsform.

Sind drei Punkte P₁, P₂ und P₃ des ℝ² gegeben, kann die Punktprobe außerdem zur Bestimmung einer quadratischen Funktion verwendet werden, deren Schaubild eine Parabel ist. Die allgemeine Form lautet f(x)=ax²+bx+c mit a,b,c∈ℝ. Für jeden der drei Punkte wird eine Punktprobe durchgeführt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den Variablen a, b und c. Nach dem Lösen des Systems kann der Funktionsterm f aufgestellt werden. Die drei Punktproben führen dann für die Koordinaten von P₁, P₂ und P₃ zu wahren Aussagen.

Auswertung von Messreihen

Bei n gegebenen Messwerten soll ein Modell gefunden werden, das den funktionalen Zusammenhang der Messwerte möglichst gut darstellt. Dazu werden k Messwerte benötigt, wobei k≤n gilt. Mit diesen k Messwerten werden über ein Gleichungssystem mit k Gleichungen die Modellparameter berechnet.

Die übrigen n−k Messwerte werden anschließend durch entsprechende Punktproben überprüft. Aus der Auswertung dieser Punktproben lässt sich die Güte der Approximation der Daten durch das gewählte Modell untersuchen.