Pseudoinverse

Grundidee allgemeiner Pseudoinversen

Eine Pseudoinverse verallgemeinert die inverse Matrix auf singuläre (nicht invertierbare) und nichtquadratische Matrizen. Sie ist wichtig, um lineare Gleichungssysteme und lineare Ausgleichsprobleme trotzdem behandeln zu können. Es gibt verschiedene Definitionen, die je nach Aufgabenstellung gewählt werden.

Nach Adi Ben-Israel sollte eine verallgemeinerte Inverse für reguläre Matrizen eindeutig die gewöhnliche Inverse liefern, zumindest einige singuläre Matrizen im verallgemeinerten Sinn invertierbar machen und bei singulären Matrizen ähnliche Eigenschaften wie eine gewöhnliche Inverse besitzen.

Die Mindestbedingung lautet: B ist genau dann eine Pseudoinverse von A, wenn ABA = A gilt. Dadurch werden Spalten y von A durch B auf Lösungen x des Gleichungssystems y = Ax abgebildet. Nach Max Koecher müssen zusätzlich ABA = A und BAB = B gelten. Die zweite Bedingung verhindert, dass von null verschiedene Spalten von B im Kern von A liegen.

Moore-Penrose-Inverse

Die Moore-Penrose-Inverse, meist einfach Pseudoinverse genannt, ist für jede Matrix A ∈ ℂ^(m×n) eindeutig bestimmt. Sie ist die Matrix A⁺ ∈ ℂ^(n×m), welche die vier Moore-Penrose-Bedingungen erfüllt:

• AA⁺A = A.
• A⁺AA⁺ = A⁺.
• (AA⁺)* = AA⁺.
• (A⁺A)* = A⁺A.

M* bezeichnet die adjungierte Matrix von M; bei reellen Matrizen ist sie gleich der transponierten Matrix Mᵀ. Die letzten beiden Bedingungen besagen, dass AA⁺ und A⁺A hermitesch sind.

Auch über Grenzwerte ist die Pseudoinverse definiert:

A⁺ = lim(δ ↘ 0) (AA + δEₙ)⁻¹A = lim(δ ↘ 0) A*(AA* + δEₘ)⁻¹.

Dabei ist Eₖ die Einheitsmatrix in ℂ^(k×k). Die Grenzwerte existieren auch dann, wenn (AA*)⁻¹ und (A*A)⁻¹ nicht existieren.

Rechenregeln, Sonderfälle und Berechnung

Wichtige Rechenregeln der Moore-Penrose-Inversen sind: (A⁺)⁺ = A, (Ā)⁺ = overline(A⁺), (A*)⁺ = (A⁺)* sowie (λA)⁺ = λ⁻¹A⁺ für λ ≠ 0.

Sind die Spalten von A linear unabhängig, ist AA invertierbar und A⁺ = (AA)⁻¹A*. Dann gilt A⁺A = Eₙ, also ist A⁺ eine Linksinverse. Bei linear unabhängigen Zeilen ist AA* invertierbar und A⁺ = A*(AA*)⁻¹; dann gilt AA⁺ = Eₘ, also ist A⁺ eine Rechtsinverse. Sind sowohl Zeilen als auch Spalten unabhängig, ist A invertierbar und A⁺ stimmt mit A⁻¹ überein. Ist AB definiert und eine der beiden Matrizen unitär, gilt (AB)⁺ = B⁺A⁺.

Für einen Skalar ist die Pseudoinverse von 0 wieder 0; für x ≠ 0 ist sie x⁻¹. Für einen Vektor gilt x⁺ = 0ᵀ für x = 0 und x⁺ = x*/(xx) sonst. Ist A hermitesch beziehungsweise im reellen Fall symmetrisch, besitzt auch A⁺ diese Eigenschaft. Aus UAU = D folgt A⁺ = U*D⁺U; für die Diagonaleinträge gilt dᵢᵢ⁺ = 0 bei dᵢᵢ = 0 und dᵢᵢ⁺ = 1/dᵢᵢ sonst.

Hat A Rang k und eine Zerlegung A = BC mit B ∈ ℂ^(m×k) und C ∈ ℂ^(k×n), so gilt A⁺ = C*(CC*)⁻¹(BB)⁻¹B. Mit der Singulärwertzerlegung A = UΣV* erhält man A⁺ = VΣ⁺U*. Σ⁺ entsteht, indem Σ transponiert und jeder von null verschiedene Singulärwert σᵢ durch 1/σᵢ ersetzt wird.

Das Rechnen über A*A ist numerisch instabil, weil sich die Kondition der Matrix quadriert. Die QR-Zerlegung gilt als stabil und effizient. Das Verfahren über die Singulärwertzerlegung ist am aufwendigsten, aber numerisch am gutartigsten; die Ränderung von Matrizen bietet einen Kompromiss. Der Algorithmus von Greville berechnet die Moore-Penrose-Inverse endlich und spaltenweise iterativ.

Lösen linearer Gleichungssysteme

Ist Ax = b nicht lösbar, liefert x̄ = A⁺b die Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate: Sie minimiert die euklidische Norm ‖Ax − b‖₂, also die Summe der quadrierten Abweichungen.

Hat Ax = b unendlich viele Lösungen, lassen sie sich durch

x = A⁺b + (Eₙ − A⁺A)y, y ∈ ℂⁿ

angeben. Dabei ist x jeweils die Lösung des Gleichungssystems, die zu y den kleinsten Abstand in der euklidischen Norm hat.

Drazin-Inverse

Für eine Matrix A ∈ ℝ^(n×n) mit Index i ist die Drazin-Inverse Aᴰ die eindeutig bestimmte n×n-Matrix mit AⁱAᴰA = Aⁱ, AᴰAAᴰ = Aᴰ und AAᴰ = AᴰA. Der Index i ist die kleinste ganze Zahl i ≥ 1, für die Aⁱ und A⁽ⁱ⁺¹⁾ denselben Kern haben.

Aus der Jordan-Normalform T(Λ 0; 0 N)T⁻¹ = A, wobei Λ der reguläre Teil und N nilpotent ist, folgt Aᴰ = T(Λ⁻¹ 0; 0 0)T⁻¹. Bei Index i = 1 heißt sie Gruppen-Inverse; sie ist eine Pseudoinverse nach Koechers Definition.

Für das zeitdiskrete Deskriptorsystem Axₖ₊₁ = xₖ müssen konsistente Anfangswerte x₀ in allen Bildern von Aᵏ liegen. Dann ist xₖ = (Aᴰ)ᵏx₀. Außerdem gilt für Matrizen mit Index i:

∫₀ᵗ exp(A t̄) d t̄ = Σₖ₌₀ⁱ⁻¹ [t^(k+1)/(k+1)!]Aᵏ(Eₙ − AAᴰ) + (exp(At) − Eₙ)Aᴰ.

Damit kann die Sprungantwort des Systems ẋ = Ax + bu, y = cᵀx mit u(t) = 0 für t < 0 und u(t) = 1 für t ≥ 0 dargestellt werden. Für t ≥ 0 ist y(t) gleich cᵀ mal dem Ausdruck in der Integralformel, angewandt auf b; für t < 0 ist y(t) = 0.

Restringierte Pseudoinversen und Bott-Duffin-Inverse

Bei einem restringierten linearen Gleichungssystem Ax = b, x ∈ L, ist die Lösung nur zulässig, wenn sie im linearen Teilraum L liegt. Mit dem orthogonalen Projektor P_L auf L ist dieses System genau dann lösbar, wenn (AP_L)x = b, x ∈ ℝᵐ, lösbar ist. Eine Pseudoinverse von AP_L heißt L-restringierte Pseudoinverse von A.

Die Bott-Duffin-Inverse von A bezüglich L ist, sofern die gewöhnliche Inverse existiert,

A_L^(-1) = P_L(AP_L + P_(L⊥))⁻¹.

Sie kann für affin-lineare elektrische Netzwerke verwendet werden. Dort gilt Ai + u = u⁰ mit i ∈ L und u ∈ L⊥. L ist der Raum der Strombelegungen, welche die kirchhoffschen Knotengleichungen erfüllen; nach dem Satz von Tellegen sind die Räume der Zweigspannungs- und Zweigstrombelegungen, welche die kirchhoffschen Maschen- beziehungsweise Knotengleichungen erfüllen, orthogonal komplementär.

Zu einer Quellspannungsbelegung u⁰ berechnet man die Zweigströme mit i = A_L^(-1)u⁰ und die Zweigspannungen mit u = (Eₘ − AA_L^(-1))u⁰.