Permanenzprinzip

Grundidee des Permanenzprinzips

Das Permanenzprinzip ist ein Arbeitsprinzip für Zahlbereichserweiterungen. Beim Aufbau einer komplexeren mathematischen Theorie sollen die Strukturen und Rechenregeln der zugrunde liegenden Theorie so weit wie möglich erhalten bleiben. Ausgangspunkt ist ein einfacher Zahlenbereich; der neue Bereich wird so konstruiert, dass bisher gültige Gesetze weiterhin gelten. Dazu gehören beispielsweise Kommutativ- und Assoziativgesetz sowie Ordnungsrelationen.

Das Prinzip wird auch als hankelsches Permanenzprinzip bezeichnet. Es wurde 1867 von Hermann Hankel für den axiomatischen Aufbau mathematischer Theorien aufgestellt und war bereits 1834 von George Peacock formuliert worden. Es gilt als Ausformung des wissenschaftlichen Sparsamkeitsprinzips, das auch „Ockhams Rasiermesser“ genannt wird und sich mit „einfach ist am besten“ zusammenfassen lässt.

Aufbau der Zahlbereiche

Ein typisches Beispiel ist die schrittweise Konstruktion der Zahlbereiche. Die ganzen Zahlen ℤ werden als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definiert. Gleichfarbige Paare gehören dabei jeweils zu einer gemeinsamen Äquivalenzklasse. Die natürlichen Zahlen werden kanonisch eingebettet:

• 0 entspricht der Klasse {(a,b) | b=a}.
• 1 entspricht der Klasse {(a,b) | b=a+1}.
• 2 entspricht der Klasse {(a,b) | b=a+2}; entsprechend geht es weiter.

Dabei sind a und b natürliche Zahlen. Die negativen Zahlen sind genau die Klassen mit a>b, etwa −1 für {(a,b) | a=b+1} und −2 für {(a,b) | a=b+2}. Die Schreibweise −1 ist somit eine Abkürzung für eine Äquivalenzklasse.

Die neuen Rechenoperationen sollen mit den alten verträglich sein. Bezeichnet G(n) die zu n gehörige ganze Zahl, „+“ die Addition in ℕ und „⊕“ die Addition in ℤ, fordert das Prinzip beispielsweise G(n+m)=G(n)⊕G(m). Für die Addition der Äquivalenzklassen ergibt sich im Wesentlichen genau eine passende Definition:

{(a,b) | b=a+x} ⊕ {(c,d) | c=d+y} := {(e,f) | e=f+(x+y)}.

Auf der nächsten Stufe werden die rationalen Zahlen ℚ als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen konstruiert. Die Regeln werden erneut so festgelegt, dass die Gesetze der ganzen Zahlen erhalten bleiben. In den natürlichen Zahlen sind Addition und Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Subtraktion ist dagegen nur möglich, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist; Division ist nur möglich, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.

Mit den rationalen Zahlen werden die vier Grundrechenarten grundsätzlich universell ausführbar, ausgenommen die Division durch Null. Die Potenzierung bleibt zunächst eingeschränkt: a^(1/2) ist nur ausführbar, wenn a eine Quadratzahl ist. Mit den reellen Zahlen ℝ wird die Potenzierung bei positiver Basis universell ausführbar, bei negativer Basis jedoch weiterhin nur eingeschränkt. Erst die komplexen Zahlen ℂ beseitigen diese Einschränkung. Dafür geht die Ordnungsrelation verloren: Komplexe Zahlen lassen sich nicht anordnen. Das Permanenzprinzip kann daher nicht immer vollständig verwirklicht werden.

Grenzen bei der Division durch Null

Aus den Rechenregeln und insbesondere aus dem Distributivgesetz folgt, dass die Null ein absorbierendes Element der Multiplikation ist: Für alle a gilt a·0=0·a=0. Deshalb würde jedes Ergebnis einer Division durch Null die gewohnten Rechenregeln verletzen. Die Frage ist daher, ob sich der Zahlenraum mit möglichst kleiner Abweichung von diesen Regeln erweitern lässt.

Die Analysis kompaktifiziert reelle und komplexe Zahlen durch Grenzwertbildungen. Die Einpunktkompaktifizierung fügt eine zusätzliche Zahl Θ hinzu. Eine unmittelbare Anwendung des Permanenzprinzips führt jedoch zu widersprüchlichen Ergebnissen: Einerseits soll 0/0=1 gelten, weil für a≠0 auch a/a=1 gilt. Andererseits gilt

0/0=(0·0)/0=0·(0/0)=0,

weil 0·a=0 für a≠0 ist. Das Prinzip führt hier also zu einem Verstoß gegen die Wohldefiniertheit. Eine eindeutige Definition von 0/0 verletzt umgekehrt automatisch das Permanenzprinzip.

Da Eindeutigkeit als wichtiger angesehen wird, kann man Θ als Ergebnis jeder Division durch 0 definieren: Θ:=a/0 für alle a∈R. Für alle a∈R∪{Θ} werden unter anderem folgende Regeln festgelegt: a+Θ=Θ, a−Θ=Θ, a·Θ=Θ, a/Θ=Θ und a^Θ=Θ; ebenso gilt Θ+a=Θ, Θ−a=Θ, Θ·a=Θ und Θ/a=Θ. Jeder Ausdruck, in dem Θ vorkommt, erhält somit den Wert Θ.

Viele Rechenregeln bleiben erhalten, etwa a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c und a·(b+c)=a·b+a·c. Andere gelten nicht mehr für Θ: Θ/Θ=Θ statt 1, Θ−Θ=Θ statt 0 und 0·Θ=Θ statt 0. Eine mögliche Ordnung setzt Θ entweder größer als alle anderen Zahlen oder kleiner als alle anderen Zahlen; mit den Rechenregeln ist diese Ordnung jedoch nicht verträglich. Die Erweiterung ist außerdem nicht eindeutig, macht die Regeln komplexer und entspricht nicht dem Permanenzprinzip.

Zweipunktkompaktifizierung und Schlussfolgerung

Eine andere Erweiterung der reellen Zahlen ist die Zweipunktkompaktifizierung Z={−∞}∪ℝ∪{+∞}. Für a∈ℝ, b∈ℝ_{>0} und x∈Z gelten beispielsweise:

• a+(±∞)=±∞,
• b·(±∞)=±∞,
• (−b)·(±∞)=∓∞,
• ±∞+(±∞)=±∞,
• ±∞·(±∞)=+∞,
• −∞<a<+∞.

Die Ringaxiome gelten für die zusätzlichen Elemente ±∞ nicht. Grenzwerte können einer „Division durch Null“ eine genaue Bedeutung geben: 1/(+0):=lim_{x→0+}x^(−1)=+∞ und 1/(−0):=lim_{x→0−}x^(−1)=−∞. Ein solcher Grenzwert ist jedoch nicht dasselbe wie eine Division durch Null.

Die Norm IEEE 754 verwendet im Wesentlichen diese Art der Erweiterung. Sie kennt eine negative Null. Unbestimmte Ausdrücke wie 0/0, ±∞−(±∞) und 0·(±∞) werden als NaN bezeichnet, englisch „Not a Number“. Mit NaN ergibt jede weitere Addition oder Multiplikation wieder NaN. Damit gibt es drei Arten von Objekten: endliche reelle Zahlen, für die die vier Grundrechenarten außer der Division durch Null gelten und die Ringaxiome erfüllt sind; die beiden unendlichen „Zahlen“ ±∞ mit besonderen Regeln; und NaN als Nichtzahl für unbestimmte Ausdrücke.

Beide Erweiterungsvorschläge sind hinsichtlich Arithmetik und Totalordnung unbefriedigend, weil sie die Regeln nicht vereinfachen, sondern zusätzliche Sonderfälle erfordern. Das Ergebnis lautet daher: Die Division durch Null ist nicht definiert und im Rahmen der genannten Regeln auch nicht definierbar. In der seriösen mathematischen Literatur wird sie deshalb nicht verwendet. Für Rechengeräte können dennoch Weiterrechnungsregeln eingesetzt werden. Excel verwendet beispielsweise die Regeln Θ 1 bis Θ 4 und schreibt statt Θ die Fehlermeldung #DIV0!. Die Norm IEEE 754 liegt näher an der technischen Hardware.