Parkettierung mit Fünfecken

Grundidee und Abgrenzung

Eine Fünfeck-Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung einer Fläche mit fünfeckigen Kacheln. Bei einer monohedralen Parkettierung sind alle Kacheln kongruent, also deckungsgleich, und haben die Form desselben Fünfecks. Für die euklidische Ebene sind bisher 15 Typen kongruenter, konvexer Fünfecke bekannt, die eine solche Parkettierung ermöglichen. Ob diese Klassifikation vollständig ist, war nach dem im Artikel dargestellten Stand noch nicht abschließend bestätigt.

Für andere Eckenzahlen ist die Lage geklärt: Jedes Dreieck und jedes konvexe Viereck kann die Ebene parkettieren. Karl Reinhardt bewies 1918, dass genau drei Typen konvexer Sechsecke dazu geeignet sind. Mit einem konvexen Siebeneck, Achteck oder einem konvexen Polygon mit noch mehr Ecken ist eine monohedrale Parkettierung der Ebene unmöglich.

Auch regelmäßige Fünfecke können die euklidische Ebene nicht parkettieren. Ihr Innenwinkel beträgt 108° und ist kein ganzzahliger Teiler des Vollwinkels von 360°. An einem Punkt lassen sich deshalb nicht genügend regelmäßige Fünfecke ohne Lücke oder Überlappung zusammenfügen.

Mathematische Beschreibung

Ein Kacheltyp wird durch Beziehungen zwischen seinen Winkeln und seinen Seitenverhältnissen beschrieben. Die Protokachel ist die allgemeine Ausgangsform eines Typs; sie muss zu den tatsächlich verwendeten Kacheln nur ähnlich sein. Je nach Zahl der Freiheitsgrade kann ein Typ daher mehrere untereinander nicht ähnliche Protokacheln enthalten. Außerdem können aus demselben Kacheltyp Parkettierungen mit unterschiedlichen Eigenschaften entstehen.

Ein kongruentes Fünfeck wird durch sieben unabhängige Bestimmungsstücke festgelegt, ein ähnliches Fünfeck durch sechs. Die Winkel heißen A, B, C, D und E und erfüllen immer A+B+C+D+E = 540°. Die Seiten werden in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn, mit a, b, c, d und e bezeichnet; beispielsweise ist b die Länge der Seite AB.

Damit sich der Polygonzug schließt, gelten die beiden Bedingungen c cos(B) – d cos(B+C) + e cos(B+C+D) + a cos(–A) = b und c sin(B) – d sin(B+C) + e sin(B+C+D) + a sin(–A) = 0.

Reinhardt ordnete Fünfecke nach den Gleichheiten ihrer Seiten in sieben Klassen ein: R-I hat fünf verschiedene Seiten; R-II genau zwei gleiche Seiten; R-III₁ drei gleiche Seiten; R-III₂ zwei Paare gleicher Seiten; R-IV₁ vier gleiche Seiten; R-IV₂ drei gleiche und zusätzlich zwei untereinander gleiche Seiten; bei R-V sind alle fünf Seiten gleich.

Alle 15 bekannten Typen besitzen isohedrale Parkettierungen. Isohedral bedeutet, dass eine Symmetrie der gesamten Parkettierung jede beliebige Kachel auf jede andere abbilden kann. Bei einer k-isohedralen Parkettierung gibt es entsprechend k verschiedene Bahnen von Kacheln. Die Typen 1 bis 13 haben mindestens einen Freiheitsgrad; Typ 1 besitzt fünf, Typ 2 vier, die Typen 4 und 5 jeweils zwei und die übrigen dieser Gruppe jeweils einen. Die vollständig bestimmten Typen 14 und 15 haben keinen Freiheitsgrad. Nur die Typen 4 bis 9 sind ausschließlich Kante-an-Kante; bei Typ 1 und 2 sind beide Möglichkeiten vorhanden, die übrigen sind nicht Kante-an-Kante.

Die 15 konvexen Typen

Reinhardt beschrieb 1918 die ersten fünf Typen. Beispiele ihrer kennzeichnenden Bedingungen sind B+C=180° und A+D+E=360° bei Typ 1 sowie a=b, d=c+e und A=C=D=120° bei Typ 3. Ihre grundlegenden Kachelmuster bestehen je nach Typ aus zwei, drei, vier oder sechs Kacheln.

Richard B. Kershner fand 1968 die Typen 6, 7 und 8 und hielt die damit erreichte Liste von acht Typen irrtümlich für vollständig. Richard E. James III entdeckte 1975 Typ 10 und zeigte damit, dass Kershners Schluss nicht stimmte. Typ 10 erfüllt unter anderem a=b=c+e, A=90°, B+E=180° und B+2C=360°.

Marjorie Rice entwickelte nach der Lektüre von Martin Gardners Kolumne eine eigene geometrische Notation. Sie fand 1976/77 die vier Typen 9, 11, 12 und 13. Doris Schattschneider prüfte und veröffentlichte ihre Ergebnisse. Rices vier Typen besitzen jeweils ein 8er-Kachelmuster. Sie verwendete einige Fünfecke außerdem für Escher-artige Bilder; eines ihrer Fünfecke wurde in den 1990er Jahren im Eingangsbereich des Hauptgebäudes der Mathematical Association of America in Washington, D.C. verlegt.

Rolf Stein fand 1985 Typ 14. Er ist vollständig bestimmt und erfüllt 2a=2c=d=e, A=90°, D=cos⁻¹((3−√57)/8)≈124,66°, B=270°−D und C=360°−2B. Casey Mann, Jennifer McLoud und David Von Derau entdeckten 2015 mithilfe eines Computerprogramms Typ 15. Für ihn gelten a=c=e, b=2a, d=a√2+√3 sowie A=150°, B=60°, C=135°, D=105° und E=90°; sein Grundmuster umfasst zwölf Kacheln.

Hirschhorn und Hunt zeigten 1985: Ein gleichseitiges konvexes Fünfeck parkettiert genau dann, wenn zwei seiner Winkel zusammen 180° ergeben oder wenn es das einzigartige Fünfeck mit A≈99,929°, B≈89,264°, C≈144,561°, D≈70,878° und E≈135,368° ist. Dabei gilt B+2E=2C+D=2A+B+D=360°. Olga Bagina bewies, dass es nur acht konvexe Kante-an-Kante-Parkettierungstypen geben kann; Teruhisa Sugimoto bestätigte dies unabhängig unter Bezug auf Bagina. Michaël Rao legte 2017 eine Beweisführung vor, nach der jeder vermeintliche 16. Typ nur eine Variante eines der 15 bekannten Typen ist. Da damals noch kein wissenschaftliches Peer-Review vorlag, wurde die Vollständigkeit trotz positiver Einzelmeinungen noch nicht als endgültig bestätigt.

Besondere ebene Parkettierungen

Kongruente Fünfecke können auch nichtperiodische Parkettierungen bilden. Nichtperiodisch bedeutet, dass sich die gesamte Anordnung durch keine Verschiebung regelmäßig wiederholt. Michael Hirschhorn konstruierte ein Beispiel mit 6-zähliger Drehsymmetrie und den Winkeln A=140°, B=60°, C=160°, D=80° und E=100°. Bernhard Klaassen zeigte 2016, dass jede Drehsymmetrie der Ebene durch eine monohedrale Parkettierung mit Fünfecken aus ein und derselben Klasse dargestellt werden kann. Die genannten Beispiele mit 5-, 6- und 7-zähliger Drehsymmetrie gehören zu Typ 1. Mit denselben Fünfeckformen sind daher zugleich periodische Parkettierungen möglich.

Einige Sechsecke lassen sich in kongruente Fünfecke zerlegen. Ein regelmäßiges Sechseck kann durch einen seitenvertikalen Schnitt in zwei Typ-1-Fünfecke geteilt werden. Zerlegungen in drei Fünfecke des Typs 3, vier des Typs 4 oder neun des Typs 3 sind ebenfalls möglich.

Drei isohedrale Fünfeck-Parkettierungen entstehen als Duale anderer Parkettierungen. Dual bedeutet hier, dass Flächen und Eckpunkte der Ausgangsstruktur miteinander vertauscht werden. Diese dualen Parkettierungen sind immer Kante-an-Kante und verwenden besonders symmetrische Spezialfälle der 15 Typen: die prismatische Parkettierung mit Winkeln 120°, 120°, 120°, 90°, 90°; die Kairo-Parkettierung mit Winkeln 120°, 90°, 120°, 90°, 120° und b=c=d=e, a=b(√3−1); sowie die Floret- oder Rosetten-Parkettierung mit Winkeln 60°, 120°, 120°, 120°, 120° und a=b=2c=2d=2e.

Konkave Fünfecke

Bei einem konkaven Fünfeck ist mindestens ein Innenwinkel größer als 180°. Solche Formen ermöglichen weitere Parkettierungen, die nicht zur Klassifikation der 15 konvexen Typen gehören.

Ein Beispiel ist das Pentagon von Livio, für das periodische Parkettierungen mit stark unterschiedlichen topologischen Strukturen bekannt sind. Es gibt 1-isohedrale Varianten, in denen jede Kachel durch eine Symmetrie der gesamten Parkettierung in jede andere überführt werden kann. In einer weiteren periodischen Anordnung bilden die grünen und die roten Fünfecke dagegen zwei getrennte Bahnen: Symmetrien können zwar zwischen hellen und dunklen Fünfecken derselben Farbe vermitteln, aber keine grünen auf rote Fünfecke abbilden. Diese Parkettierung ist deshalb 2-isohedral. Mit demselben Pentagon von Livio existiert auch eine aperiodische Parkettierung.

Ein weiteres Beispiel ist die aperiodische Sphinx-Parkettierung. Ihr konkaves Fünfeck ist ein „Reptile“: Es kann aus kleineren, zu ihm ähnlichen Kopien seiner selbst zusammengesetzt werden.

Andere Geometrien und Quasikristalle

Auf gekrümmten Flächen gelten andere Möglichkeiten als in der euklidischen Ebene. Die Oberfläche eines Dodekaeders kann als regelmäßige Parkettierung einer Kugel mit zwölf regelmäßigen Fünfecken verstanden werden. Ihr Schläfli-Symbol lautet {5,3}: An jeder Ecke treffen drei Fünfecke zusammen.

In der hyperbolischen Ebene gibt es unendlich viele regelmäßige Fünfeck-Parkettierungen. Bei {5,4} treffen vier regelmäßige Fünfecke an jeder Ecke zusammen; entsprechend lassen sich höhere Ordnungen {5,n} theoretisch bis {5,∞} bilden. Daneben existieren unendlich viele dualstrukturale einheitliche Parkettierungen mit isogonalen, unregelmäßigen fünfeckigen Flächen. M. Cundy und A. Rollett beschreiben sie in der Form V3.3.p.3.q, beispielsweise V3.3.3.3.7 oder V3.3.4.3.5.

Einen physikalischen Bezug liefern Quasikristalle. In gewöhnlichen Kristallstrukturen kommt zwar sechszählige, aber keine fünfzählige Symmetrie vor. Dan Shechtman und Mitarbeiter entdeckten 1984 dennoch fünfzählige Reflexe. Diese wurden Quasikristallen zugeordnet, deren Struktur eine regelmäßig-unregelmäßige Anordnung inkommensurabler Einheiten darstellt. Die Entdeckung wurde 2011 mit einem Nobelpreis ausgezeichnet.