Histogramm

Grundidee und Bedeutung

Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung kardinal skalierter Merkmale. Kardinal skalierte Merkmale sind numerische Merkmale, bei denen Abstände zwischen Werten sinnvoll vergleichbar sind. Für die Darstellung wird der Wertebereich in Klassen, also aneinandergrenzende Intervalle, eingeteilt. Über jeder Klasse steht ein Rechteck. Die Rechtecke grenzen direkt aneinander und unterscheiden sich damit vom Säulendiagramm, bei dem Abstände zwischen den Säulen üblich sind.

Die Breite eines Rechtecks entspricht der Breite der jeweiligen Klasse. Sein Flächeninhalt stellt die Klassenhäufigkeit dar, entweder absolut oder relativ. Die absolute Klassenhäufigkeit ist die Anzahl der Werte in einer Klasse; die relative Klassenhäufigkeit gibt an, wie viel Prozent aller Werte zu dieser Klasse gehören. Die Höhe des Rechtecks ist die Häufigkeitsdichte, also die Klassenhäufigkeit geteilt durch die Klassenbreite.

Histogramme werden in der beschreibenden Statistik und in der Bildverarbeitung verwendet. Sie zeigen den Verlauf einer Häufigkeitsverteilung und damit Informationen, die zusammenfassende Kennzahlen wie arithmetisches Mittel und Standardabweichung allein nicht sichtbar machen. Außerdem können sie Hinweise darauf geben, dass mehrere Faktoren einen Prozess beeinflussen, und bei der Festlegung sinnvoller Spezifikationsgrenzen helfen. In der physikalischen Forschung und in angewandten Gebieten wie der Analytik werden auch gemessene Spektren als Histogramme dargestellt.

Aufbau und Konstruktion

Für die Konstruktion sind vier Schritte erforderlich:

• Den Wertebereich in Klassen aufteilen und die Breiten der Rechtecke festlegen.
• Die absoluten oder relativen Klassenhäufigkeiten bestimmen und damit die Flächeninhalte festlegen.
• Die Häufigkeitsdichten berechnen und dadurch die Rechteckhöhen bestimmen.
• Das Histogramm grafisch darstellen.

Der Wertebereich einer Stichprobe wird in k aneinandergrenzende Intervalle geteilt. Die Klassen dürfen konstante oder variable Breiten haben. Die Randklassen dürfen nicht offen sein: Die erste Klasse muss eine untere Grenze und die letzte Klasse eine obere Grenze besitzen. Gleich große Klassen vereinfachen insbesondere im Mittelbereich die Interpretation.

Ist nⱼ die Klassenhäufigkeit der j-ten Klasse und dⱼ ihre Klassenbreite, ergibt sich die Häufigkeitsdichte hⱼ aus

hⱼ = nⱼ / dⱼ.

Der Grund dafür ist, dass die Fläche eines Rechtecks dem Produkt aus Klassenbreite und Höhe entspricht. Die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte heißt Modalklasse. Bei gleich breiten Klassen sind Häufigkeitsdichte und absolute beziehungsweise relative Häufigkeit proportional. Dann können die Rechteckhöhen leichter miteinander verglichen und unter Berücksichtigung der Klassenbreite als Häufigkeiten interpretiert werden.

Ein Histogramm ist flächenproportional: Die Fläche eines Rechtecks entspricht c · f(xⱼ), wobei f(xⱼ) die relative Klassenhäufigkeit der Klasse j und c ein Proportionalitätsfaktor ist. Für c = n entspricht jede Fläche der absoluten Klassenhäufigkeit; die Summe aller Flächen ist dann der Stichprobenumfang n. Ein solches Histogramm heißt absolut. Für c = 1 entsprechen die Flächen den relativen Klassenhäufigkeiten und summieren sich zu 1; das Histogramm heißt relativ oder normiert.

Im Unterschied zum Säulendiagramm muss die x-Achse eines Histogramms eine geordnete und gleichabständige Skala sein. Zur Beurteilung der dargestellten Verteilung dienen vor allem der allgemeine Kurvenverlauf, die Streuung und die Zentrierung, also die Lage der Werte.

Klassenanzahl und statistische Schwankungen

Die Anzahl der Klassen beziehungsweise Rechtecke beeinflusst den Verlauf und die Interpretation des Histogramms. Eine falsche Klasseneinteilung kann zu Fehlinterpretationen führen. Als Faustregeln gelten:

• Bei weniger als 50 Messungen: 5 bis 7 Balken.
• Bei 50 bis 100 Messungen: 6 bis 10 Balken.
• Bei 100 bis 250 Messungen: 7 bis 12 Balken.
• Bei mehr als 250 Messungen: 10 bis 20 Balken.

Nach der Sturges-Regel kann die Balkenzahl k berechnet werden:

k = 1 + log₂ n ≈ 1 + 3,3 · log₁₀ n.

Die Sturges-Regel berücksichtigt die Streuung nicht. Außerdem wählt sie die Klassenzahl für n > 200 selbst bei einer ideal normalverteilten wahren Dichte zu klein.

Nach der Scott-Regel wird statt der Klassenzahl die Klassenbreite h bestimmt:

h = (3,49 · σ) / ∛n.

Diese Regel ist in dieser Form nur für normalverteilte Daten definiert. Für andere Fälle führte Scott Korrekturfaktoren in Abhängigkeit von Schiefe und Exzess ein. Nach Freedman und Diaconis gilt:

h = 2 · (Q₃ − Q₁) / ∛n.

Dabei bezeichnet σ die Standardabweichung, n die Anzahl der Messungen und Q₃ − Q₁ den Interquartilsabstand.

Bei wiederholter Datenerfassung können die Klassenhäufigkeiten statistisch schwanken. Die zu erwartende Schwankungsbreite der Klassenhäufigkeit strebt bei unbegrenzt wachsender Anzahl der Klassen gegen √nⱼ. Das ist beispielsweise bei der Beurteilung der Präzision einer Wahlprognose relevant.

Beispiel mit europäischen Ländern

Für 32 europäische Länder wird die Zahl der PKWs pro 1000 Einwohner als Wohlstandsindikator betrachtet. Die Werte werden in fünf Klassen eingeteilt:

• Klasse 1: über 0 bis 200 PKWs; 5 Länder; Klassenbreite d₁ = 200; Häufigkeitsdichte h₁ = 0,025.
• Klasse 2: über 200 bis 300 PKWs; 6 Länder; d₂ = 100; h₂ = 0,06.
• Klasse 3: über 300 bis 400 PKWs; 6 Länder; d₃ = 100; h₃ = 0,06.
• Klasse 4: über 400 bis 500 PKWs; 9 Länder; d₄ = 100; h₄ = 0,09.
• Klasse 5: über 500 bis 700 PKWs; 6 Länder; d₅ = 200; h₅ = 0,03.

Die absoluten Klassenhäufigkeiten ergeben zusammen 32. Die vierte Klasse ist die Modalklasse, weil sie mit 0,09 die größte Häufigkeitsdichte besitzt. Ihre hohe Dichte beruht nicht nur auf der Anzahl der Länder, sondern wird im Verhältnis zur Klassenbreite bestimmt.

Auf der Abszisse werden die Klassengrenzen und Klassenmittel abgetragen. Die Ordinate wird bei Histogrammen in der Regel nicht angegeben, weil sonst die Gefahr besteht, die Rechteckhöhe statt der Fläche als Häufigkeit zu deuten. Sind alle Klassen gleich breit, kann die Klassenhäufigkeit nⱼ für die Rechteckhöhe verwendet und auf der Ordinate abgetragen werden.

Histogramme in Bildverarbeitung und Fotografie

In der digitalen Bildverarbeitung beschreibt ein Histogramm die statistische Häufigkeit der Grauwerte oder Farbwerte eines Bildes. Es zeigt, welche Helligkeits- beziehungsweise Farbwerte vorkommen und gibt Hinweise auf Helligkeit und Kontrastumfang. Je höher der Balken über einem Farbwert ist, desto häufiger kommt dieser Wert im Bild vor.

Bei Farbbildern kann ein Histogramm über alle möglichen Farben oder getrennt für einzelne Farbkanäle erstellt werden. Die getrennte Darstellung ist meist sinnvoller, weil viele Verfahren auf Grauwertbildern beruhen und dadurch unmittelbar weiterverarbeitet werden können. Die Anzahl der Kanäle hängt vom Farbmodus ab: Ein CMYK-Bild besitzt vier Farbkanäle, ein RGB-Farbbild drei.

Digitalkameras zeigen Histogramme häufig während der Motivsuche in Echtzeit oder für bereits gespeicherte Aufnahmen an. Dadurch lassen sich Unterbelichtung und Überbelichtung erkennen und durch eine Belichtungskorrektur beheben. Eine klassische Anwendung ist die Egalisierung beziehungsweise Äqualisierung. Dabei wird das Histogramm mit einer Egalisierungsfunktion transformiert, um eine bessere Verteilung der Farbgebung zu erreichen, die über eine bloße Kontrastverstärkung hinausgeht.

Bei Low-key-Aufnahmen konzentrieren sich viele Details in den niedrigen Tonwerten; der stärkste Ausschlag liegt daher im unteren Bereich. Bei High-key-Aufnahmen gilt das Gegenteil: Viele Pixel haben hohe Tonwerte, während im niedrigen Bereich kaum ein Ausschlag auftritt. Bei einem Beispiel einer High-key-Aufnahme konzentrieren sich 70 % der Pixel auf die oberen 2 % des Tonwertumfangs, also auf die Tonwerte 250 bis 255 von insgesamt 0 bis 255. Die übrigen 30 % verteilen sich auf die restlichen 250 Tonwerte. Bei Überbelichtung schmiegt sich die Wahrscheinlichkeitskurve an die rechte, helle Seite an; möglicherweise wird das Maximum nicht erreicht. Ein Helligkeitsbereich ist dann abgeschnitten und der darunterliegende Bereich wird als Weiß definiert.

Average-Shifted-Histogramm

Neben der Klassenanzahl und Klassenbreite beeinflusst auch die Wahl der linken Klassengrenze das Ergebnis. Für denselben Datensatz können deshalb unterschiedliche Histogramme entstehen, obwohl die Klassenbreite gleich bleibt. Im beschriebenen Beispiel beträgt sie jeweils 2,0; der Beginn der ersten Klasse liegt jedoch bei −6,0, −5,5, −5,0 beziehungsweise −4,5.

David Scott schlug zur Verringerung dieses Problems das Average-Shifted-Histogramm vor. Dafür werden mehrere Histogramme desselben Datensatzes mit gleicher Klassenbreite, aber verschobenen Klassengrenzen überlagert. Für jeden Wert x werden die Histogrammhöhen gemittelt. Im Beispiel werden vier Histogramme gemittelt; üblicherweise verwendet man deutlich mehr als vier.

Das Verfahren löst das Problem der Wahl der linken Klassengrenzen, nicht jedoch die Wahl der optimalen Klassenbreite. Es ist zwischen dem gewöhnlichen Histogramm und der Kerndichteschätzung einzuordnen.