Modus (Stochastik)

Grundidee

Der Modus oder Modalwert ist in der Stochastik eine Kennzahl der Verteilung einer Zufallsvariable oder eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Er gehört zu den Lagemaßen. Lagemaße beschreiben die Position einer Verteilung; dazu zählen auch Erwartungswert und Median.

Der Modus gibt an, an welcher Stelle eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsfunktion ein lokales Maximum hat. Anschaulich liegt dort ein besonders hoher Wert der Dichte oder Wahrscheinlichkeit vor. Wichtig ist: Der stochastische Modus beschreibt nicht eine konkrete Stichprobe, sondern eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Zufallsvariable.

Definition bei Dichten

Hat eine Zufallsvariable X oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, dann heißt x_m ein Modus oder Modalwert von X oder P, falls f(x_m) ein lokales Maximum von f ist.

Ist X reellwertig oder ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen definiert, bedeutet das gleichwertig: Es gibt ein offenes Intervall um x_m, sodass für alle x in diesem Intervall gilt:

f(x) ≤ f(x_m)

Der Wert x_m muss also nicht unbedingt das größte Maximum der gesamten Funktion sein; nach der Definition reicht ein lokales Maximum.

Definition bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Für diskrete Fälle wird der Modus über eine Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert. Sei Ω eine höchstens abzählbare Menge, deren Elemente x_k in aufsteigender Ordnung sortiert sind, also … < x_{k-1} < x_k < x_{k+1} < … . Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in Ω und Wahrscheinlichkeitsfunktion f, oder ist P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f, dann heißt x_k ein Modus oder Modalwert, wenn gilt:

f(x_{k-1}) ≤ f(x_k) ≥ f(x_{k+1})

Für den speziellen Fall, dass X Werte in ℕ annimmt oder P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ℕ ist, ist k ein Modus, wenn gilt:

f(k-1) ≤ f(k) ≥ f(k+1)

Auch hier geht es also um einen Wert, dessen Wahrscheinlichkeit mindestens so groß ist wie die der direkt benachbarten Werte.

Grenzen des Modus

Der Modus ist als Lagemaß nicht immer problemlos interpretierbar. Er kann keine oder nur geringe Aussagekraft besitzen.

Ein Beispiel ist die Exponentialverteilung mit Parameter λ und Dichte

f_λ(x) = λ e^{-λx} für x ≥ 0 und f_λ(x) = 0 für x < 0.

Diese Dichte hat bei x_m = 0 ein globales Maximum. Damit ist 0 der eindeutige Modus der Exponentialverteilung. Gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als 0 zu erhalten, gleich 0. Das widerspricht der Grundidee eines Lagemaßes, das anzeigen soll, wo sich „viel Wahrscheinlichkeit“ befindet.

Außerdem muss der Modus nicht eindeutig sein. Bei der stetigen Gleichverteilung mit Dichte

f(x) = 1/(b-a) für a ≤ x ≤ b und f(x) = 0 sonst

ist jeder Wert im Intervall (a,b) ein Modus.

Arten von Verteilungen

Verteilungen mit genau einem Modus heißen unimodale Verteilungen.

Verteilungen mit mehr als einem Modus heißen multimodale Verteilungen. Je nach Anzahl der Modi werden sie genauer bezeichnet: Eine Verteilung mit zwei Modi heißt bimodal, eine Verteilung mit drei Modi trimodal.

Abgrenzung zur Statistik

Der Modus in der Stochastik ist vom Modus in der deskriptiven Statistik zu unterscheiden. In der Statistik kann der Modus jeder nominal skalierten Stichprobe zugeordnet werden. Nominal skaliert bedeutet, dass die Elemente in Kategorien gruppiert werden können. Dort ist der Modus also eine Kennzahl einer Stichprobe, also einer Anordnung von Ergebnissen eines tatsächlich durchgeführten Zufallsexperiments.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Modus dagegen eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Abbildung, die speziellen Mengen Zahlen zuordnet. Sie ist daher ein anderes mathematisches Objekt als eine Stichprobe.

Beide Begriffe lassen sich über die empirische Verteilung verbinden: Ist eine Stichprobe x = (x_1, x_2, …, x_n) gegeben, dann entspricht der Modus der Stichprobe x dem Modus im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie der empirischen Verteilung von x.