Potenzgesetz (Statistik)

Kernidee und mathematische Form

Ein Potenzgesetz (englisch „power law“) beschreibt die Beziehung zweier beobachteter Größen x und y durch eine Potenzfunktion:

y = a · x^b

Dabei ändert sich eine Größe mit der Potenz der anderen, unabhängig vom Ausgangswert beider Größen. Potenzgesetze gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene. Der Flächeninhalt eines quadratischen Grundstücks wächst beispielsweise mit der zweiten Potenz der Seitenlänge: Wird die Seitenlänge verdoppelt, vervierfacht sich die Fläche. Bei der Schwerkraft nimmt die Stärke mit dem Quadrat der Entfernung ab.

In der Statistik werden Potenzgesetze aus empirischen Daten gewonnen. Statistik bezeichnet Methoden zur Analyse solcher Daten; in der induktiven Statistik werden aus einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit abgeleitet. Allgemeiner werden Potenzgesetze als polynomielle Abhängigkeiten der Form y = a · x^b + … beschrieben. Der Vorfaktor a und der Exponent b sind dabei die wichtigsten Bestandteile. Zusatzterme werden als vernachlässigbar angenommen und weggelassen.

Der Vorfaktor a ist meist weniger wichtig als der Exponent b. Dieser bestimmt, ob y mit wachsendem x ab- oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit. Im Artikel wird außerdem angegeben, dass der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden kann: y = a · x^b wird zu y = x^(b + logₓ a) umgeformt.

Ob eine Verteilung durch eine Potenzfunktion angenähert werden kann, lässt sich mit einer doppelt-logarithmischen Darstellung prüfen. Ist der Graph dort eine Gerade, ist eine Potenznäherung möglich; die Steigung dieser Geraden entspricht dem Exponenten. Das Standard-Potenzgesetzmodell muss statistisch vervollständigt werden, indem obere und untere Wahrscheinlichkeitsgrenzen einbezogen werden.

Funktionale Beziehungen und typische Beispiele

Potenzgesetze treten häufig bei funktionalen Beziehungen zwischen einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße auf. Zu den im Artikel genannten Beispielen gehören:

die Beziehung zwischen der Seitenlänge und dem Flächeninhalt eines Quadrats;
die Stevenssche Potenzfunktion, die menschliche Empfindungsstärke und Reizstärke miteinander verbindet;
Kleibers Gesetz, das die Beziehung zwischen der Masse und dem Stoffwechsel von Tieren beschreibt.

Auch die empirische relative Häufigkeit y deutscher Städte in Abhängigkeit von ihrer Einwohnerzahl x kann durch ein Potenzgesetz beschrieben werden. Im Artikel lautet die angegebene Näherung y = 380969 · x^−2,31. Dieser Zusammenhang beruht auf einer Pareto-Verteilung.

Potenzgesetze in Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Potenzgesetze wurden auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen gefunden. Eine Pareto-Verteilung ist eine Verteilung mit schweren Rändern. Das bedeutet anschaulich, dass an den Verteilungsenden mehr Masse liegt als beispielsweise bei einer Normalverteilung. Pareto-verteilte Größen zeigen eine Ungleichverteilung: Kleine Werte treten relativ häufig auf, große Werte dagegen sehr selten. Im Städtebeispiel tragen wenige Großstädte überproportional zur Gesamtbevölkerung bei. Die Pareto-Verteilung wurde zunächst zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet und ist mit dem Pareto-Prinzip beziehungsweise der 80-zu-20-Regel verbunden.

Das Zipfsche Gesetz modelliert bestimmte Größen, die in eine Rangfolge gebracht werden. Der Wert einer Größe kann aus ihrem Rang geschätzt werden. In der vereinfachten Aussage gilt: Werden die Elemente einer Menge, etwa die Wörter eines Textes, nach ihrer Häufigkeit geordnet, ist die Wahrscheinlichkeit p ihres Auftretens umgekehrt proportional zu ihrem Platz n auf der Häufigkeitsliste.

Weitere im Artikel genannte Anwendungen sind Lotkas Gesetz, das die Verteilung der Anzahl wissenschaftlicher Zeitschriftenartikel auf Autoren beschreibt, sowie die von Lewis Fry Richardson untersuchte Verteilung der Anzahl von Konflikten in Abhängigkeit von ihrer Größe, gemessen an der Zahl der Opfer.

Skalenfreie Netzwerke

In der Netzwerktheorie treten Potenzgesetze bei der Häufigkeitsverteilung von Knotengraden in skalenfreien Netzen auf. Der Knotengrad gibt an, wie viele Verbindungen ein Knoten besitzt. László Barabási und Réka Albert untersuchten drei verschiedene reale Netzwerke und fanden in allen drei nahezu identische Potenzgesetze.

Sie entwickelten außerdem das Barabási-Albert-Modell. Dieses Modell bildet durch die sogenannte bevorzugte Bindung den Aufbau realer Netze nach. Die daraus entstehenden Häufigkeitsverteilungen folgen ebenfalls einem Potenzgesetz. Als Beispiel nennt der Artikel die Gradverteilung eines Barabási-Albert-Netzwerks mit 200.000 Knoten und einem maximalen Grad von 882.

Entstehung einer Größenverteilung durch exponentielles Wachstum

Eine Größenverteilung nach einem Potenzgesetz kann entstehen, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung von Objekten exponentiell wächst. Der Artikel veranschaulicht dies an Städten. Die Anzahl der Städte zum Zeitpunkt t sei n(t) = e^(νt). Die Ausdehnung kᵢ einer zum Zeitpunkt tᵢ gegründeten Stadt wächst bis zum Zeitpunkt t nach kᵢ = e^(μ(t − tᵢ)) und liegt im Bereich kᵢ ∈ [1, ∞[.

Für eine zufällige Stadt wird zunächst die Wahrscheinlichkeit betrachtet, dass ihre Ausdehnung kleiner als k ist:

P[kᵢ(t) < k] = P[e^(μ(t − tᵢ)) < k].

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich eine Beziehung zum Gründungszeitpunkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Stadt zum Zeitpunkt t vor einem Zeitpunkt t₀ gegründet wurde, lautet:

Pₜ[tᵢ < t₀] = n(t₀) / n(t) = e^(ν(t₀ − t)).

Setzt man t₀ = t − ln(k^(1/μ)) ein, erhält man für die Verteilungsfunktion:

P[kᵢ(t) < k] = 1 − e^(ln(k^(−ν/μ))) = 1 − 1 / k^(ν/μ).

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte, also die Ableitung der Verteilungsfunktion und damit die Größenverteilung, hat die Form:

p(k) = a · k^(−(1 + ν/μ)), k ∈ [1, ∞[.

Im Artikel wird dazu a = −1 − μ/ν angegeben. Damit zeigt die Herleitung, wie aus exponentiellem Wachstum von Anzahl und Ausdehnung eine Größenverteilung mit Potenzgesetz entsteht.