Orthogonale Gruppe

Begriff und grundlegende Einteilung

Die orthogonale Gruppe \mathrm{O}(n) ist die Gruppe aller orthogonalen (n\times n)-Matrizen mit reellen Einträgen; die Verknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Orthogonal bedeutet A^T A=E, wobei A^T die transponierte Matrix und E die Einheitsmatrix ist. Solche Matrizen sind invertierbar und bilden daher eine Untergruppe von \mathrm{GL}(n,\mathbb R).

Ihre Determinante kann nur +1 oder -1 sein. Deshalb zerfällt \mathrm{O}(n) in zwei disjunkte Zusammenhangskomponenten: \mathrm{SO}(n), die spezielle orthogonale Gruppe der Drehungen mit Determinante +1, sowie \mathrm{O}(n)\setminus\mathrm{SO}(n), die Drehspiegelungen mit Determinante -1. Besonders wichtig ist \mathrm{SO}(3): Sie beschreibt alle Drehungen um Achsen durch den Koordinatenursprung im dreidimensionalen Raum.

Orthogonalität, Eigenwerte und Normalform

Koordinatenfrei heißt eine lineare Selbstabbildung f\colon V\to V eines euklidischen Vektorraums orthogonal, wenn sie das Skalarprodukt erhält:

\langle f(u),f(v)\rangle=\langle u,v\rangle\quad\text{für alle }u,v\in V.

Dies ist genau gleichbedeutend damit, dass die Abbildung Längen und Winkel erhält. Die Menge dieser Abbildungen heißt \mathrm{O}(V). Bezüglich einer Orthonormalbasis entsprechen sie den orthogonalen Matrizen. Insbesondere ist x\mapsto A x auf \mathbb R^n genau dann orthogonal, wenn A orthogonal ist.

Jede reelle orthogonale Matrix ist zugleich eine unitäre Matrix und daher über \mathbb C diagonalisierbar. Ihre Eigenwerte haben Betrag 1 und lassen sich als \lambda_j=\mathrm e^{\mathrm i\varphi_j} mit \varphi_j\in[0;2\pi[ schreiben. Nichtreelle Eigenwerte treten bei reellen Matrizen paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf. Über \mathbb R ist eine solche Matrix im Allgemeinen nicht diagonalisierbar, zerfällt aber in ein- und zweidimensionale invariante Unterräume.

Nach einer Drehung des Koordinatensystems durch ein P\in\mathrm{SO}(n) besitzt P^TAP eine Blockform aus Einträgen +1, -1 und Drehblöcken

D(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix},\qquad \varphi\in]0;\pi[\,\cup\,]\pi;2\pi[.

Gibt es p Einträge +1, m Einträge -1 und d Drehblöcke, so gilt p+m+2d=n. Die Matrix A ist genau dann eine Drehung, wenn m, also die algebraische und geometrische Vielfachheit des Eigenwerts -1, gerade ist.

Drehungen und Drehspiegelungen in kleinen Dimensionen

In der Ebene sind neben den Drehungen D(\varphi) auch die Drehspiegelungen

S(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}

orthogonal. Ihre Eigenwerte sind 1 und -1. Sie beschreiben daher eine Achsenspiegelung und können nach einer Drehung des Koordinatensystems um \frac\varphi2 als \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} geschrieben werden.

Jede Drehung im dreidimensionalen Raum hat bei geeigneter Orthonormalbasis die Form

D_1(\varphi)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix},\qquad \varphi\in[0;2\pi[.

Sie ist eine Drehung um die x_1-Achse. Somit besitzt jede echte räumliche Drehung eine Drehachse. Der Winkel \varphi ist eindeutig festgelegt, wenn nur orientierungserhaltende Basiswechsel P\in\mathrm{SO}(3) zugelassen werden. Eine räumliche Drehspiegelung lässt sich entsprechend durch \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} darstellen; auch hier ist \varphi bei erhaltener Orientierung eindeutig.

Im vierdimensionalen Raum sind zwei unabhängige Drehwinkel möglich. Eine doppelte Drehung ist

D(\varphi,\psi)=\begin{pmatrix}D(\varphi)&0\\0&D(\psi)\end{pmatrix}\in\mathrm{SO}(4).

Werden in beiden Drehungsebenen jeweils die zwei Basisvektoren vertauscht, bleibt die Orientierung insgesamt erhalten und D(\varphi,\psi) wird zu D(2\pi-\varphi,2\pi-\psi).

Lie-Gruppe, Zusammenhang und Sphären

\mathrm{O}(n) ist eine Lie-Gruppe der Dimension \frac{n(n-1)}2. Sowohl \mathrm{O}(n) als auch \mathrm{SO}(n) sind kompakt: Sie sind abgeschlossene Teilmengen der Einheitskugel bezüglich der Spektralnorm im Raum \mathbb R^{n\times n}. \mathrm{SO}(n) ist wegzusammenhängend. Ein Weg in \mathrm{GL}(n) von E zu einer Drehung A kann punktweise mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren in einen Weg innerhalb von \mathrm{SO}(n) überführt werden. Die Multiplikation mit \operatorname{diag}(-1,1,\ldots,1) liefert einen Diffeomorphismus von \mathrm{SO}(n) auf die andere Zusammenhangskomponente.

Die natürliche Wirkung von \mathrm{SO}(n) auf \mathbb R^n erhält Längen. Ihre Bahnen sind deshalb genau die Sphären um den Ursprung; auf der Einheitssphäre S^{n-1} ist die Wirkung transitiv. Die Isotropiegruppe, also die Untergruppe, welche den Standardvektor e_n festhält, ist \mathrm{SO}(n-1). Daraus entstehen die kurze exakte Sequenz \mathrm{SO}(n-1)\to\mathrm{SO}(n)\to S^{n-1} und das Hauptfaserbündel \mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-1)\to S^{n-1}. Induktiv folgt: Für n\geq3 ist die Fundamentalgruppe von \mathrm{SO}(n) isomorph zu \mathbb Z/2\mathbb Z; für \mathrm{SO}(2) ist sie \mathbb Z, da \mathrm{SO}(2) topologisch dem Einheitskreis S^1 entspricht.

Lie-Algebra und Exponentialabbildung

Die Lie-Algebra, also der Tangentialraum an der Einheitsmatrix mit der zugehörigen algebraischen Struktur, ist für beide Gruppen gleich:

\mathfrak o(n)=\mathfrak {so}(n)=\{A\in\mathit{Mat}(n,\mathbb R):A^T=-A\}.

Sie besteht aus schiefsymmetrischen Matrizen. Für \mathfrak {so}(n) kommt formal die Bedingung „spurlos“ hinzu, die bei reellen schiefsymmetrischen Matrizen bereits erfüllt ist. Eine schiefsymmetrische Matrix wird durch die \binom n2=\frac{n(n-1)}2 Einträge oberhalb der Hauptdiagonale eindeutig bestimmt; dies erklärt die Dimension von \mathrm{SO}(n).

Zu jeder schiefsymmetrischen Matrix A=-A^T gehört durch die Matrixexponentialfunktion die Einparametergruppe t\mapsto\exp(tA)\in\mathrm{SO}(n). Anders als bei allgemeinen Lie-Gruppen ist die Exponentialabbildung von \mathfrak {so}(n) nach \mathrm{SO}(n) global surjektiv. Für n=2 gilt \mathfrak o(2)=\mathfrak {so}(2)=\{\begin{pmatrix}0&\lambda\\-\lambda&0\end{pmatrix}:\lambda\in\mathbb R\}. Für n=3 ist \mathfrak {so}(3) zum \mathbb R^3 mit dem Kreuzprodukt als Lie-Klammer isomorph.