Ophiuride

Wesen und Definition

Die Ophiuride, auch Schlangenschwanzlinie, ist eine kubische Kurve, also eine Kurve dritten Grades. Ihre Form und Lage werden durch die rechtwinklig zueinander stehenden Seiten a und b eines Rechtwinkelhakens bestimmt. In der im Artikel verwendeten Lage lautet ihre implizite Gleichung:

y³ + (x − a)xy − bx² = 0.

Sie kann als Ortslinie beschrieben werden: Ein Punkt P bewegt sich auf der Geraden durch die Seite AB eines Rechtwinkelhakens ABC. Durch A wird eine Parallele zu CP und durch P eine Senkrechte zu CP gezogen. Ihr Schnittpunkt D läuft auf der Ophiuride.

Die Gleichung folgt aus ähnlichen Dreiecken. Für die dabei verwendeten Strecken gilt x:y = y:|FP| und y:x = b:|BP|. Daher ist |FP| = y²/x, |BP| = bx/y sowie |FP| = a − x + bx/y. Nach Multiplikation mit xy ergibt sich y³ + (x − a)xy − bx² = 0. Für a = 2 und b = 1 lautet sie y³ + (x − 2)xy − x² = 0. Bei a = 1 und variablem b entsteht die Kurvenschar y³ + (x − 1)xy − bx² = 0.

Erzeugungen und verwandte Kurven

Die Ophiuride ist eng mit Rollkurven verwandt und lässt sich auf verschiedene geometrische Arten erzeugen.

Als Fußpunktkurve einer Parabel: P bewegt sich auf einer Parabel p, t ist die Tangente in P. X ist ein fester Punkt auf einer durch den Scheitel S verlaufenden Geraden parallel zur Leitlinie. Der Schnittpunkt D der Tangente t mit dem Lot von X auf t beschreibt eine Ophiuride. Für die im Artikel dargestellte Konstruktion gilt die Gleichung y³ + (x − a)xy + b(x − 1)² = 0. Fällt P mit dem Scheitel der Parabel zusammen, entsteht die Zissoide des Diokles.

Als Medianlinie von Kreis und Gerade: Zu einem Kreis k und einer außerhalb liegenden Geraden g wird ein fester Kreispunkt P gewählt. Für einen beweglichen Punkt X auf k schneidet die verlängerte Strecke XP die Gerade g in S. Die Mittelpunkte D der Strecken XS bilden eine Ophiuride. Liegt P auf dem Lot vom Kreismittelpunkt auf g, ist die Kurve wieder die Zissoide des Diokles. Deren Gleichung ist x²(2a − y) − y³ = 0.

Uhlhorn beschrieb außerdem ein mechanisches Zeichengerät, das Doppelgnomon: Zwei rechtwinklige, U-förmige Holzgestelle sind beweglich ineinander geführt. Ein Führungsstift wird in einer Geraden bewegt; beim Drehen eines Bügels zeichnet ein gegenüberliegender Stift die Ophiuride.

Würfelverdoppelung und Winkeldreiteilung

Die Ophiuride erlaubt geometrische Lösungen zweier klassischer Probleme der Antike: der Würfelverdoppelung und der Dreiteilung eines Winkels.

Bei der Würfelverdoppelung wird aus der Ophiuride mit a = 2 und b = 1 die Kantenlänge x₁ = ∛2 des verdoppelten Einheitswürfels gewonnen. Die zugehörige Gleichung lautet y³ + (x − 2)xy − x² = 0. Bei a = 1 und b = 1 bis 8 kann die Seitenlänge für die jeweilige Vervielfachung eines Einheitswürfels direkt auf der Geraden x = 1 abgelesen werden; allgemein ergibt sich die gesuchte Kante als Kubikwurzel der Vervielfachung.

Zur Winkeldreiteilung wird für einen Winkel α eine Ophiuride mit

y³ + (x − a)xy + sin(α)x² = 0

gezeichnet. Im Beispiel ist a = 2 und α₁ = 60°; zugleich wird der Supplementwinkel α₂ = 120° berücksichtigt. Die Ophiuride schneidet eine bestimmte Senkrechte in O und P. Parallelen durch diese Punkte schneiden einen Halbkreis in E und Q und liefern die Winkel β₁ = 20° beziehungsweise β₂ = 40°. Damit werden 60° und 120° gedrittelt. Die Konstruktion ist für Winkel größer als 0° bis 180° dargestellt.

Kubische Gleichungen und Hyperbel

Mit einer Ophiuride und den Schnittpunkten einer Geraden mit ihrer Kurvenschleife lassen sich nach dem Artikel alle kubischen Gleichungen geometrisch lösen. Für die reduzierte Form x³ − fx − g = 0 wird eine Höhe y gewählt und die Parameter der Ophiuride bestimmt durch:

a = (f + y²)/y und b = g/y².

Die Gerade zur gewählten Höhe y schneidet die Kurve in den Lösungen der kubischen Gleichung. Beim Beispiel x³ − 3x + 1 = 0 wird y = 2 gewählt. Dann sind a = 3,5 und b = 1/4. Die drei Schnittpunkte ergeben x₁ = 1,53208…, x₂ = 0,34729… = 2·sin(10°) und x₃ = −1,87938…. Der Artikel nennt hierfür den „casus irreducibilis“ der Cardanischen Formeln, bei dem kubische Wurzeln imaginärer Zahlen auftreten.

Enthält eine kubische Gleichung einen x²-Term, wird sie zunächst durch eine Verschiebung in die Normalform z³ + pz + q = 0 überführt. Für x³ − 7x² + 16x − 12 = 0 gilt mit x = z + 7/3: z³ − (1/3)z − 2/27 = 0. Mit y = 1 erhält man a = 4/3 und b = 2/27; die verschobene Ophiuride liefert die Lösungen x₁ = 2, x₂ = 2 und x₃ = 3. Die beiden gleichen Werte bilden eine Doppellösung.

Eine Spiegelung der für die Würfelverdoppelung verwendeten Ophiuride am Einheitskreis führt zu einer verwandten Hyperbel. Deren vereinfachte Gleichung lautet (2x − 1)y + x² = 0.