Ortskurve (Kurvendiskussion)

Bedeutung einer Ortskurve

Eine Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft besitzen. Bei einer Kurvendiskussion sucht man besonders häufig Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar.

Allgemeines Vorgehen

Zuerst bestimmt man die x-Koordinaten der gesuchten Punkte, zum Beispiel aller Tiefpunkte, in Abhängigkeit vom Parameter der Funktionenschar.

Danach löst man die Gleichung für die x-Koordinate nach dem Parameter auf. Setzt man diesen Ausdruck in die Funktionsgleichung ein, wird der Parameter eliminiert. Die verbleibende Gleichung beschreibt die Ortskurve.

Alternativ kann zunächst die Gleichung für die y-Koordinate bestimmt werden. Auch dann wird die nach dem Parameter umgestellte Gleichung eingesetzt.

Beispiel: Extrempunkte

Für die Funktionenschar

f_a(x)=x^3-3a^2x

haben die Extrempunkte, also Hoch- und Tiefpunkte, die x-Koordinaten x=\pm a mit a\neq 0. Alle diese Extrempunkte liegen auf der Ortskurve

y=-2x^3.

Beispiel: Wendepunkte

Gegeben ist die Funktionenschar

f_t(x)=tx^4-4t^2x^2 mit t>0.

Die Wendestellen sind w_1=+\sqrt{\tfrac{2t}{3}} und w_2=-\sqrt{\tfrac{2t}{3}}. Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, genügt es, mit einer Wendestelle weiterzurechnen.

Aus x=\sqrt{\tfrac{2t}{3}} folgt t=\tfrac{3x^2}{2}. Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung erhält man y=-7{,}5x^6.

Die Ortskurve aller Wendepunkte lautet daher

o_{\text{w}}(x)=-7{,}5x^6\,;\ x\neq 0.