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Kräfteparallelogramm
Je zwei am selben Punkt angreifende Kräfte können durch eine einzige Kraft ersetzt werden. Diese resultierende Kraft (auch Gesamtkraft oder Ersatzkraft genannt) …
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Grundidee und Bedeutung
Das Kräfteparallelogramm ist ein geometrisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Kräften. Es beruht auf dem Gesetz, dass zwei Kräfte, die am selben Punkt angreifen, durch eine einzige gleichwirkende Kraft ersetzt werden können. Diese heißt resultierende Kraft, Gesamtkraft oder Ersatzkraft.
Die beiden Kräfte werden als Kraftvektoren, also Pfeile mit Betrag (Länge) und Richtung, gezeichnet. Aus ihnen wird ein Parallelogramm gebildet. Die Diagonale, die am gemeinsamen Ursprung beginnt, stellt die resultierende Kraft dar. Mathematisch ist dies die Vektoraddition.
Das Gesetz vom Kräfteparallelogramm hat axiomatischen Charakter: Es wird nicht aus anderen Gesetzen, etwa den newtonschen Gesetzen, bewiesen, sondern als wahr angenommen, weil es mit praktischen Erfahrungen übereinstimmt. Es wird manchmal als viertes newtonsches Gesetz bezeichnet. Nach demselben Gesetz werden in der klassischen Mechanik auch Geschwindigkeiten addiert.
Zusammenfassen mehrerer Kräfte
Für mehr als zwei Kräfte verwendet man als Erweiterung das Kräfteeck. Mehrere Kräfte können aber auch schrittweise mit dem Kräfteparallelogramm zusammengefasst werden: Zuerst bestimmt man die Resultierende aus zwei Kräften. Diese wird anschließend mit einer weiteren Kraft zusammengefasst. Der Vorgang wird wiederholt, bis nur eine einzige resultierende Kraft übrig bleibt.
Ein Beispiel ist eine Laterne, die von zwei Gebäuden an Seilen abgespannt ist: Wird eine Gewichtskraft F_G angehängt, entstehen die Zugkräfte F_S1 und F_S2 in den Seilen. Das Kräfteparallelogramm stellt diesen Zusammenhang dar. Bei einer anderen Anordnung kann eine Gewichtskraft G im diagonalen Stab die Druckkraft F_2 und im horizontalen Stab die Zugkraft F_1 bewirken.
Grafische Addition zweier Kräfte
Um zwei Kräfte grafisch zu addieren, zeichnet man beide Kräfte maßstabsgerecht mit Angriffspunkt, Betrag und Richtung ein. Ihre Wirkungslinien werden zum gemeinsamen Schnittpunkt verschoben. Greifen die Kräfte nicht am selben Punkt an, ist das Kräfteparallelogramm im Allgemeinen nicht anwendbar.
Wirken die Kräfte jedoch auf einen starren Körper, dürfen sie entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung ändert. Dies heißt Linienflüchtigkeitsgesetz. Oft wird bei der Anwendung stillschweigend ein starrer Körper vorausgesetzt.
Danach werden die Wirkungslinien beider Kräfte parallel verschoben, sodass jede Linie durch die Spitze des anderen Kraftvektors verläuft. Die Diagonale des entstandenen Parallelogramms ist die resultierende Kraft. Bei einem starren Körper kann auch diese Resultierende für weitere Untersuchungen entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
Grafische Kräftezerlegung
Die Kräftezerlegung ist die Umkehrung der Vektoraddition: Eine gegebene Kraft wird in zwei Teilkräfte aufgespalten, die sich an einem Punkt schneiden. Ohne weitere Vorgaben sind dabei prinzipiell beliebig viele Lösungen möglich. Sind die Wirkungsrichtungen der beiden Teilkräfte bekannt, gibt es genau eine Lösung; dann lassen sich ihre Beträge bestimmen.
Dazu zeichnet man die Ausgangskraft und die vorgegebenen Wirkungslinien der Teilkräfte maßstabsgerecht. Die Ausgangskraft wird entlang ihrer Wirkungslinie zum Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien verschoben. Anschließend verschiebt man die Wirkungslinien der Teilkräfte parallel, sodass sie durch die Spitze der Ausgangskraft laufen. Die beiden am Angriffspunkt anliegenden Seiten des Parallelogramms entsprechen den Kraftvektoren der Teilkräfte.
Historische Entwicklung
Die Geschichte des Gesetzes reicht bis zu Pseudo-Aristoteles und dessen Questiones Mechanicae zurück. In der Renaissance wurde seine Bedeutung noch nicht vollständig erkannt. Simon Stevin (1548–1620) formulierte die Methode 1586 mit dem Stevinschen Gedankenexperiment zur Analyse der Kräfte auf der schiefen Ebene.
In breiteren Wissenschaftlerkreisen setzte sich die Methode erst im 17. Jahrhundert durch. John Wallis formulierte sie um 1670 in seiner Mechanik als Axiom. Isaac Newton gab sie 1687 in den Philosophiae Naturalis Principia Mathematica als Korollar 1 zu den drei Bewegungsgleichungen an. Newton nutzte die Parallelogrammzerlegung auch für andere Vektorgrößen wie Beschleunigung und Geschwindigkeit. Die Entdeckung des Kräfteparallelogramms im heutigen Sinn wird unabhängig auch Pierre de Varignon zugeschrieben. Zur Veranschaulichung der Zerlegung wurden verschiedene Geräte erfunden, unter anderem von Crahay.
