Multiindex

Begriff und Zweck

Ein Multiindex fasst mehrere einzelne Indizes zu einem Objekt zusammen. Formal ist \boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) ein n-Tupel aus natürlichen Zahlen oder null, also ein Element von \mathbb N_0^n. Die Schreibweise ist besonders nützlich, wenn Formeln von einer auf mehrere Variablen übertragen werden. Sie verkürzt etwa Mehrfachpotenzreihen, gemischte partielle Ableitungen und mehrdimensionale Taylorreihen. Multiindizes werden daher häufig in der mehrdimensionalen Analysis und in der Theorie der Distributionen verwendet.

Grundlegende Schreibregeln

Für Multiindizes \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_n) und \boldsymbol{\ell}=(\ell_1,\ldots,\ell_n) gelten die Operationen komponentenweise:

• \boldsymbol{k}=\boldsymbol{\ell} genau dann, wenn k_i=\ell_i für alle Komponenten gilt.

• \boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{\ell} genau dann, wenn k_i\leq\ell_i für jedes i gilt.

• \boldsymbol{k}+\boldsymbol{\ell}=(k_1+\ell_1,\ldots,k_n+\ell_n).

Das Multiindex-Fakultätsprodukt und der Multiindex-Binomialkoeffizient sind definiert durch \boldsymbol{k}!=k_1!\cdots k_n!,\qquad {\boldsymbol{\alpha}\choose\boldsymbol{k}}=\frac{\boldsymbol{\alpha}!}{(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{k})!\,\boldsymbol{k}!}=\prod_{i=1}^n{\alpha_i\choose k_i}.

Die Größe oder Ordnung eines Multiindex ist die Summe seiner Komponenten: |\boldsymbol{k}|=k_1+\cdots+k_n. Für \boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n) wird eine Potenz durch \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}=x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} abgekürzt. Entsprechend bezeichnet \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{k}}=D_1^{k_1}\cdots D_n^{k_n} einen aus partiellen Ableitungen zusammengesetzten Differentialoperator der Ordnung |\boldsymbol{k}|. Dabei gilt für die Koordinatenfunktionen D_i x_j=\delta_{ij}, wobei \delta_{ij} das Kronecker-Delta ist.

Anzahl und anschauliches Beispiel

Die Zahl der Multiindizes der Größe |\boldsymbol{k}| in n Variablen beträgt {n+|\boldsymbol{k}|-1\choose|\boldsymbol{k}|}. Dies ist zugleich die Anzahl der homogenen Monome vom Grad |\boldsymbol{k}| in n kommutierenden Variablen.

Die Formel lässt sich mit Zeichenketten erklären: |\boldsymbol{k}| Zeichen a werden durch n-1 Zeichen b in n Gruppen getrennt. Die Zahl der a in jeder Gruppe gibt jeweils eine Komponente des Multiindex an. Beispielsweise entspricht die Zeichenkette aaabbab dem Monom x_1^3x_2^0x_3^1x_4^0 und dem Multiindex (3,0,1,0). In vier Variablen gibt es für die Größe 4 insgesamt {7\choose4}=35 Multiindizes.

Potenzen, Reihen und Ableitungen

Eine Mehrfachpotenzreihe kann kompakt als \sum_{\boldsymbol{k}\geq0}a_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}^o)^{\boldsymbol{k}} geschrieben werden. Dies ersetzt die getrennten Summen über k_1,\ldots,k_n.

Für \boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{m} gilt bei Potenzfunktionen \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{k}}\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!}=\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}}{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})!} und \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{k}}\frac{(x_1+\cdots+x_n)^m}{m!}=\frac{(x_1+\cdots+x_n)^{m-|\boldsymbol{k}|}}{(m-|\boldsymbol{k}|)!}. Ist \boldsymbol{k}\not\leq\boldsymbol{m}, besitzt also \boldsymbol{m}-\boldsymbol{k} eine negative Komponente, dann ist \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}}=0.

Für -\boldsymbol{1}<\boldsymbol{x}<\boldsymbol{1}, wobei \boldsymbol{1}=(1,\ldots,1), lautet die mehrdimensionale geometrische Reihe \sum_{|\boldsymbol{k}|\geq0}\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}=\frac{1}{(\boldsymbol{1}-\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{1}}}. Die Exponentialreihe ist für \boldsymbol{z}\in\mathbb C^n e^{z_1+\cdots+z_n}=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathbb N_0^n}\frac{\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}. Für \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{x}\in\mathbb C^n und Komponenten |x_i|<1 gilt außerdem die binomische Reihe (\boldsymbol{1}+\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}=\sum_{|\boldsymbol{k}|\geq0}{\boldsymbol{\alpha}\choose\boldsymbol{k}}\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}.

Der binomische Lehrsatz wird komponentenweise zu (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{m}}{\boldsymbol{m}\choose\boldsymbol{k}}\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{y}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}. Das Multinomialtheorem lautet (x_1+\cdots+x_n)^m=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m}{m\choose k_1,\ldots,k_n}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}, beziehungsweise \frac{(x_1+\cdots+x_n)^m}{m!}=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m}\frac{x_1^{k_1}}{k_1!}\cdots\frac{x_n^{k_n}}{k_n!}.

Für |\boldsymbol{m}|-mal stetig differenzierbare Funktionen f,g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R verallgemeinert die Leibniz-Regel die Produktregel: D_{\boldsymbol{m}}(fg)=\sum_{\boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{m}}{\boldsymbol{m}\choose\boldsymbol{k}}(D_{\boldsymbol{k}}f)(D_{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}g).

Beim Cauchy-Produkt zweier Mehrfachpotenzreihen werden die Koeffizienten gefaltet: f(\boldsymbol{z})g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\geq0}\left(\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{\ell}}a_{\boldsymbol{k}}b_{\boldsymbol{j}}\right)\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}. Für die Vandermondesche Konvolution gilt {\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\choose\boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{m}}{\boldsymbol{\alpha}\choose\boldsymbol{k}}{\boldsymbol{\beta}\choose\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}. Außerdem ist für m\in\mathbb N {|\boldsymbol{\alpha}|\choose m}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m}{\boldsymbol{\alpha}\choose\boldsymbol{k}}.

Mehrdimensionale Analysis

Ist f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R analytisch oder f\colon\mathbb C^n\to\mathbb C holomorph, so lautet ihre Taylorreihe um \boldsymbol{z}_0 f(\boldsymbol{z})=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathbb N_0^n}\frac{D_{\boldsymbol{k}}f(\boldsymbol{z}_0)}{\boldsymbol{k}!}(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0)^{\boldsymbol{k}}. Die Multiindexschreibweise fasst damit sämtliche gemischten partiellen Ableitungen und Potenzen in einer Summe zusammen.

Auch die cauchysche Integralformel für mehrere komplexe Veränderliche lässt sich kompakt ausdrücken. Ausführlich gilt \frac{D_{\boldsymbol{k}}f(z_1,\ldots,z_n)}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^n}\oint_{\partial U_n}\cdots\oint_{\partial U_1}\frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots(\xi_n-z_n)^{k_n+1}}\,d\xi_1\cdots d\xi_n. Dabei ist \partial\boldsymbol{U}=\partial U_1\times\cdots\times\partial U_n. Für den Koeffizienten a_{\boldsymbol{k}}=D_{\boldsymbol{k}}f(\boldsymbol{z})/\boldsymbol{k}! wird außerdem die Abschätzung |a_{\boldsymbol{k}}|\leq\frac{M}{\boldsymbol{r}^{\boldsymbol{k}}} angegeben.

Die Hurwitz-Identität liefert für x,y\in\mathbb C, x\neq0, und \boldsymbol{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb C^n die Formel (x+y)^n=\sum_{\boldsymbol{0}\leq\boldsymbol{k}\leq\boldsymbol{1}}x\,(x+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{|\boldsymbol{k}|-1}(y-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{n-|\boldsymbol{k}|}. Sie verallgemeinert die Abelsche Identität (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x(x+ak)^{k-1}(y-ak)^{n-k}. Diese erhält man aus der Hurwitz-Identität für \boldsymbol{a}=(a,a,\ldots,a).