Binomischer Lehrsatz

Grundform des binomischen Lehrsatzes

Der binomische Lehrsatz beschreibt, wie sich die Potenz (x+y)ⁿ als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y darstellen lässt. Für alle Elemente x und y eines kommutativen unitären Rings und alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ₀ gilt:

(x+y)ⁿ = ∑ₖ₌₀ⁿ (n über k) xⁿ⁻ᵏ yᵏ.

Insbesondere gilt die Formel für reelle oder komplexe Zahlen x und y; dabei wird 0⁰ = 1 vereinbart. Jeder Summand besteht aus einem Binomialkoeffizienten, einer Potenz von x und einer Potenz von y. Die Exponenten von x und y addieren sich stets zu n.

Binomialkoeffizienten und Gültigkeit

Die Koeffizienten der Entwicklung heißen Binomialkoeffizienten. Sie werden definiert durch

(n über k) = n·(n−1)·…·(n−k+1) / (1·2·…·k) = n! / ((n−k)!·k!).

Dabei bezeichnet n! = 1·2·…·n die Fakultät von n. Die Ausdrücke (n über k)xⁿ⁻ᵏyᵏ sind als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl (n über k) mit dem Ringelement xⁿ⁻ᵏyᵏ aufzufassen; der Ring wird dabei als ℤ-Modul verwendet.

Der Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, wenn x und y miteinander kommutieren, also x·y = y·x. Die Existenz einer Eins im Ring ist nicht erforderlich, wenn man die Formel als

(x+y)ⁿ = xⁿ + (∑ₖ₌₁ⁿ⁻¹ (n über k)xⁿ⁻ᵏyᵏ) + yⁿ

schreibt. Für mehr als zwei Summanden wird das Multinomialtheorem verwendet. Ein Beweis ist durch vollständige Induktion möglich. Außerdem liefert die kombinatorische Bedeutung der Binomialkoeffizienten einen Abzählbeweis; für ein konkretes n kann die Formel durch Ausmultiplizieren überprüft werden. Für n = 2 erhält man die erste binomische Formel.

Typische Entwicklungen

Für die ersten Exponenten ergeben sich:

(x+y)⁰ = 1

(x+y)¹ = x+y

(x+y)² = x²+2xy+y²

(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³

(x+y)⁴ = x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴

Setzt man −y anstelle von y ein, erhält man beispielsweise

(x−y)³ = x³−3x²y+3xy²−y³.

Bei komplexen Zahlen kann die Entwicklung von (a+ib)ⁿ nach geraden und ungeraden Potenzen von i getrennt werden. Mit i als imaginärer Einheit gilt:

(a+ib)ⁿ = ∑ₖ₌₀ⁿ (n über k)aⁿ⁻ᵏbᵏiᵏ = ∑ₖ gerade (n über k)(−1)ᵏᐟ²aⁿ⁻ᵏbᵏ + i∑ₖ ungerade (n über k)(−1)⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²aⁿ⁻ᵏbᵏ.

Der erste Summand liefert den Realteil, der zweite den Imaginärteil.

Binomische Reihe

Der binomische Lehrsatz kann auf beliebige reelle oder komplexe Exponenten α erweitert werden. Mit verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gilt:

(x+y)ᵅ = xᵅ(1+y/x)ᵅ = xᵅ∑ₖ₌₀∞ (α über k)(y/x)ᵏ = ∑ₖ₌₀∞ (α über k)xᵅ⁻ᵏyᵏ.

Diese unendliche Reihe heißt binomische Reihe. Sie konvergiert für x,y ∈ ℝ mit x > 0 und |y/x| < 1. Ist α ∈ ℕ, geht die Reihe in den binomischen Lehrsatz für natürliche Exponenten über. In diesem Fall bricht sie nach endlich vielen Gliedern ab und gilt deshalb für alle x,y ∈ ℂ.

Anwendungen in Trigonometrie und Analysis

Zusammen mit dem Satz von de Moivre liefert der binomische Lehrsatz Mehrwinkelformeln für Sinus und Kosinus. Der Satz von de Moivre lautet:

cos(nx)+i sin(nx) = (cos x+i sin x)ⁿ.

Durch die binomische Entwicklung und die Trennung von Realteil und Imaginärteil erhält man Formeln für cos(nx) und sin(nx). Für n = 2 gilt:

(cos x+i sin x)² = (cos²x−sin²x)+i(2cos x sin x),

also

cos(2x) = cos²x−sin²x,

sin(2x) = 2cos x sin x.

Allgemein gilt:

cos(nx) = ∑ₖ gerade (−1)ᵏᐟ²(n über k)cosⁿ⁻ᵏx sinᵏx,

sin(nx) = ∑ₖ ungerade (−1)⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²(n über k)cosⁿ⁻ᵏx sinᵏx.

Eine weitere Anwendung betrifft die Zahl e. Sie kann als Grenzwert definiert werden:

e = limₙ→∞ (1+1/n)ⁿ.

Die binomische Entwicklung führt auf den k-ten Summanden

(n über k)·1/nᵏ = 1/k! · n(n−1)(n−2)·…·(n−k+1)/nᵏ.

Für n gegen unendlich nähert sich der rationale Faktor 1. Daher gilt

limₙ→∞ (n über k)·1/nᵏ = 1/k!

und damit

e = ∑ₖ₌₀∞ 1/k! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … .

Da jeder Ausdruck der Binomialentwicklung eine monoton wachsende Funktion von n ist, folgt aus dem Satz der monotonen Konvergenz für Reihen, dass die Summe dieser unendlichen Reihe gleich e ist.