Klasse (Mengenlehre)

Klassen und Mengen

Eine Klasse ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente. „Klasse“ ist der Oberbegriff; jede Menge ist eine Klasse. Klassen entsprechen dem naiven Mengenbegriff. Erst die Logik und die Mengenlehre machen eine genauere Unterscheidung zwischen Klassen und Mengen notwendig.

Klassen werden meist mit dem Klassenbildungsoperator beschrieben: {x ∣ φ(x)} bezeichnet die Klasse der Objekte x, für die die Aussage φ(x) gilt. Das Abstraktionsprinzip legt die Elementbeziehung fest:

∀ y: (y ∈ {x ∣ φ(x)} ⇔ φ(y)).

Mengen sind spezielle Klassen, nämlich solche, die im Variablenbereich liegen. Die Axiome einer gewählten Mengenlehre sichern, dass die benötigten Klassen als Mengen existieren. Welche Klassen Mengen sind, hängt daher vom jeweiligen Axiomensystem ab.

Russellsche Antinomie und Variablenbereich

Der naive Umgang mit Klassen kann zu Widersprüchen führen. Die Russellsche Klasse ist definiert als:

ℛ := {x ∣ x ∉ x}.

Sie soll alle Klassen umfassen, die sich nicht selbst enthalten. Nach dem Abstraktionsprinzip gilt:

(1) y ∈ ℛ ⇔ y ∉ y.

Setzt man ℛ für y ein, erhält man:

(2a) ℛ ∈ ℛ ⇔ ℛ ∉ ℛ,

also einen Widerspruch. Diese Einsetzung ist jedoch nur zulässig, wenn ℛ im Variablenbereich 𝒱 liegt. Der Variablenbereich kann als Allklasse definiert werden:

𝒱 := {x ∣ x = x}.

Die korrekte Schlussform lautet daher:

(2b) ℛ ∈ 𝒱 ⇒ (ℛ ∈ ℛ ⇔ ℛ ∉ ℛ).

Daraus folgt:

(3) ℛ ∉ 𝒱.

Der Klassenoperator {x ∣ φ(x)} kann somit aus dem Variablenbereich herausführen.

Echte Klassen

Klassen, die keine Mengen sind, heißen echte oder eigentliche Klassen. Sie erfüllen bestimmte Axiome der Mengenlehre nicht; meist sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) gemeint. Besonders gehören dazu Klassen, die kein Element einer anderen Klasse oder Menge sein können, weil zu jeder Menge x die Menge {x} gebildet werden kann.

Beispiele sind:

• die Allklasse {x ∣ x = x}, also die Klasse aller Objekte beziehungsweise in der Mengenlehre die Klasse aller Mengen;
• die Russellsche Klasse {x ∣ x ∉ x}, die in ZF mit der Allklasse übereinstimmt;
• die Klasse aller einelementigen Mengen;
• die Klasse aller Ordinalzahlen und die Klasse aller Kardinalzahlen;
• häufig die Klasse aller Objekte einer Kategorie, etwa aller Gruppen oder aller Vektorräume über einem Körper;
• die Klasse der surrealen Zahlen;
• Quine-Individuen mit {x} = x, die das Fundierungsaxiom verletzen.

Informell sind echte Klassen oft „zu groß“, um Mengen zu sein. Die Klasse aller ganzen Zahlen ist dagegen trotz ihrer Unendlichkeit eine Menge. Diese Umkehrung gilt jedoch nicht immer: In bestimmten Mengenlehren kann es auch kleine echte Klassen geben. Wo das Aussonderungsschema nicht bedingungslos gilt, etwa in New Foundations, können echte Klassen sogar Teilmengen von Mengen sein.

Echte Klassen unterliegen nicht den Mengenaxiomen. Die Potenz der Allklasse verletzt Cantors zweites Diagonalargument für Potenzmengen. Die Cantorsche Antinomie dient daher als indirekter Beweis, dass die Allklasse keine Menge ist. Entsprechend weisen das Burali-Forti-Paradoxon auf die Echtheit der Klasse aller Ordinalzahlen und die Russellsche Antinomie auf die Echtheit der Russellschen Klasse hin.

Virtuelle Klassen

Willard Van Orman Quine bezeichnete Klassenformeln {x ∣ φ(x)} als virtuelle Klassen, wenn sie keine selbstständigen Terme, sondern nur Teilformeln in festgelegten logischen Zusammenhängen sind. Der Grund ist, dass die ZF-Mengenlehre normalerweise auf einer Prädikatenlogik mit dem Elementprädikat ∈ beruht. In dieser Logik stehen als Objekte nur Elemente des Variablenbereichs zur Verfügung; Klassenterme der Form {x ∣ φ(x)} sind daher streng genommen nicht korrekt definierbar.

Wird eine Klassenlogik verwendet, kann „virtuelle Klasse“ auch für echte Klassen oder für Klassen stehen, die nicht im Variablenbereich liegen.

Klassenterme und Klassenlogik

Wählt man eine Klassenlogik als Grundlage, ist jede Klasse {x ∣ φ(x)} ein korrekter und vollwertiger Term. Dies ist beispielsweise in der Oberschelp-Mengenlehre möglich, einer Weiterentwicklung der Quine-Mengenlehre zu einer ZFC-Klassenlogik. Eine solche Grundlage kann auch für NBG gewählt werden. Klassenlogische Versionen der Mengenlehre ermöglichen dadurch eine präzise Mengensprache, die der mathematischen Praxis umfassend entspricht.

Das Abstraktionsprinzip

∀ y: (y ∈ {x ∣ φ(x)} ⇔ φ(y))

regelt dabei das Verhältnis zwischen der Elementbeziehung ∈ und dem Klassenbildungsoperator. Die gebundene Variable x bezieht sich beim Klassenoperator ebenso wie beim Allquantor ∀x und beim Existenzquantor ∃x auf denselben Variablenbereich 𝒱.

Ist 𝒱 beispielsweise die Menge der natürlichen Zahlen ℕ, gilt nicht allgemein

∀ x: ∀ y: x − y ∈ ℕ,

weil die Subtraktion aus dem gegebenen Bereich hinausführen kann.