Matrizenring

Grundidee und Definition

Ein Matrizenring, auch Matrixring oder Ring der Matrizen, besteht aus allen quadratischen Matrizen einer festen Größe n×n, deren Einträge aus einem unitären Ring R stammen. Er wird als R^{n×n}, M_n(R), Mat(n,R) oder R_n bezeichnet. Verknüpft werden die Matrizen durch Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation; das Ergebnis ist jeweils wieder eine n×n-Matrix.

Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Addition, die Einheitsmatrix I das Einselement der Multiplikation. Damit ist (R^{n×n}, +, ·) selbst ein unitärer Ring. Matrizenringe sind wichtig, weil der Endomorphismenring, also der Ring der Selbstabbildungen, eines freien Moduls R^n isomorph zu R^{n×n} ist. Viele Ringe können daher als Unterringe eines Matrizenrings dargestellt werden; dies heißt Matrixdarstellung eines Rings.

Für 2×2-Matrizen werden Einträge bei der Addition einzeln addiert. Bei der Multiplikation entsteht etwa links oben der Eintrag a_11·b_11 + a_12·b_21. Diese Regel erklärt, warum die Reihenfolge bei der Matrizenmultiplikation wesentlich sein kann.

Ringregeln, Nullteiler und Reihenfolge

Die Ringaxiome folgen aus den entsprechenden Regeln für Matrizen: Unter der Addition bilden die Matrizen eine kommutative Gruppe, die Multiplikation ist assoziativ, und die Distributivgesetze gelten. Dabei wird 1 ≠ 0 vorausgesetzt.

Die Nullmatrix ist absorbierend: Für jede Matrix A gilt A·0 = 0·A = 0. Für n > 1 besitzt ein Matrizenring jedoch Nullteiler. Beispielsweise gilt

[[0,1],[0,0]] · [[0,1],[0,0]] = [[0,0],[0,0]].

Daher ist R^{n×n} für n > 1 kein Integritätsring. Insbesondere darf man in Matrixgleichungen im Allgemeinen nicht kürzen: Aus A·B = A·C folgt nicht notwendigerweise B = C.

Auch wenn R kommutativ ist, ist R^{n×n} für n > 1 nicht kommutativ. So ist

[[0,1],[0,0]] · [[0,0],[1,0]] = [[1,0],[0,0]]

ungleich

[[0,0],[1,0]] · [[0,1],[0,0]] = [[0,0],[0,1]].

Der Matrizenring ist genau dann kommutativ, wenn n = 1 und R kommutativ ist. Sein Zentrum, also die Menge aller mit jeder Matrix kommutierenden Elemente, lautet Z(R^{n×n}) = {z·I | z ∈ Z(R)}.

Abbildungen, Determinante und Rang

Der Isomorphismus R^{n×n} ≅ End(R^n) verbindet Matrizen mit linearen Selbstabbildungen des freien Moduls R^n. Dabei entspricht die Addition von Abbildungen der Matrizenaddition, die Hintereinanderausführung der Matrizenmultiplikation, die Nullmatrix der Nullabbildung und die Einheitsmatrix der identischen Abbildung.

Ein unitärer Ring S ist genau dann zu R^{n×n} isomorph, wenn er n² Elemente e_ij für i,j = 1,…,n besitzt mit e_ij e_kl = δ_jk e_il und e_11e_11 + e_22e_22 + … + e_nne_nn = 1 sowie einem zu R isomorphen Zentralisator dieser Elemente.

Ist R kommutativ, ist die Determinante eine normierte alternierende Multilinearform R^{n×n} → R. Sie kann mit der Leibniz-Formel berechnet werden:

det A = Σ_{σ ∈ S_n}(sgn(σ) · Π_{i=1}^n a_{i,σ(i)}).

Dabei läuft die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe S_n, und sgn(σ) ist das Vorzeichen der Permutation. Für Produkte gilt det(A·B) = det A · det B.

Der Spaltenrang ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in R^n; der Zeilenrang ist entsprechend für Zeilen definiert. Bei kommutativem R stimmen beide überein und heißen Rang. Es gilt rang A ≤ n sowie rang(A·B) ≤ min{rang A, rang B}.

Unterringe, invertierbare Matrizen und Ideale

Zu jedem Unterring U von R gehört der Unterring U^{n×n} von R^{n×n}. Weitere strukturelle Unterringe sind Diagonalmatrizen, obere oder untere Dreiecksmatrizen, Blockdiagonal- oder Blockdreiecksmatrizen sowie Matrizen, bei denen bestimmte Zeilen oder Spalten nur Nulleinträge besitzen. Der Unterring der Diagonalmatrizen ist kommutativ, falls R kommutativ ist. Der gesamte Ring R^{n×n} heißt zur Unterscheidung auch voller Matrizenring.

Die Einheiten, also die invertierbaren Elemente des Matrizenrings, bilden die allgemeine lineare Gruppe GL(n,R) der regulären Matrizen. Für reguläre Matrizen A und B gilt (A·B)^{-1} = B^{-1}·A^{-1}. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls R^n bilden.

Bei kommutativem R besitzt jede Matrix A eine Adjunkte adj A mit A·adj A = adj A·A = det A·I. Dann ist A genau dann invertierbar, wenn det A in R invertierbar ist.

Die Ideale von R^{n×n} haben genau die Form J^{n×n}, wobei J ein Ideal von R ist. Entsprechend gilt für die Faktorringe R^{n×n}/J^{n×n} ≅ (R/J)^{n×n}.

Matrizenalgebren

Ist R speziell ein Körper oder Schiefkörper K, dann ist K^{n×n} einfach: Seine einzigen Ideale sind der Nullring {0} und der ganze Ring K^{n×n}. Nach dem Satz von Artin-Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Mit komponentenweiser Skalarmultiplikation ist K^{n×n} außerdem eine assoziative Algebra.