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Nullteiler
Diese Aussage wird auch, vor allem in der Schulmathematik, als Satz vom Nullprodukt bezeichnet. Der Satz vom Nullprodukt gilt insbesondere im Bereich …
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Grundidee und Begriffe
Ein Nullteiler in einem Ring R ist ein Element a, für das es ein von 0 verschiedenes Element b mit ab = 0 gibt. Ein solches Produkt heißt gelegentlich Nullprodukt. Das Nullelement 0 ist wegen seiner absorbierenden Wirkung bei der Multiplikation selbst ein trivialer Nullteiler. Nullprodukte mit einem bereits bekannten Faktor 0 werden für die Definition nicht herangezogen.
In einem möglicherweise nichtkommutativen Ring unterscheidet man: a ist ein Linksnullteiler, wenn es ein b ≠ 0 mit ab = 0 gibt, und ein Rechtsnullteiler, wenn es ein b ≠ 0 mit ba = 0 gibt. Ein zweiseitiger Nullteiler ist beides. Entsprechend ist ein Links- oder Rechtsnichtnullteiler kein Nullteiler der jeweiligen Seite; ein zweiseitiger Nichtnullteiler ist weder Links- noch Rechtsnullteiler und heißt auch reguläres Element.
In kommutativen Ringen stimmen Links- und Rechtsbegriffe überein. Von 0 verschiedene Nullteiler heißen echte Nullteiler; dann sind beide Faktoren des Nullprodukts von 0 verschieden. Ein Ring ohne echte Links- und Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei. Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselement 1 ≠ 0 heißt Integritätsring.
Satz vom Nullprodukt
In einem nullteilerfreien Ring gilt: Aus ab = 0 für a, b ∈ R folgt a = 0 oder b = 0. Diese Aussage heißt besonders in der Schulmathematik Satz vom Nullprodukt. Sie gilt insbesondere für reelle Zahlen und ermöglicht das Lösen von Gleichungen, wenn sich ein Produkt gleich 0 setzen lässt.
Anwendung auf eine Gleichung
Für 2x² − 6x = 0 erhält man durch Ausklammern die äquivalente Gleichung 2x(x − 3) = 0. Da mit reellen Zahlen gerechnet wird, folgt nach dem Satz vom Nullprodukt: 2x = 0 oder x − 3 = 0. Die Lösungen sind daher x₁ = 0 und x₂ = 3.
Wichtige Beispiele
Der Ring ℤ der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei. Dagegen enthält ℤ² mit komponentenweiser Addition und Multiplikation die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0,1)·(1,0) = (0,0).
Jeder Körper ist nullteilerfrei, weil jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt. Der Restklassenring ℤ/6ℤ hat die Nullteiler 2, 3 und 4, da 2·3 ≡ 4·3 ≡ 0 mod 6. Allgemein ist ℤ/nℤ für n > 1 genau dann nullteilerfrei und sogar ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Auch der Polynomring K[x] über einem beliebigen Körper K ist nullteilerfrei.
Im Ring der reellen 2×2-Matrizen sind beispielsweise die Matrizen ((1,1),(2,2)) und ((1,1),(-1,-1)) Nullteiler, weil ihr Produkt die Nullmatrix ist. Allgemein sind in einem Matrizenring über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 Nullteiler. Obwohl Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, besteht dabei kein Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.
Zusammenhang mit Kürzen und Inversen
Ein von 0 verschiedenes Element ist genau dann ein Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- beziehungsweise zweiseitig kürzbar ist.
In einem Ring mit Einselement kann ein echter Links- oder Rechtsnullteiler nicht invertierbar sein, also keine Einheit sein. Ist etwa a ≠ 0 ein Linksnullteiler mit ab = 0 und wäre ca = 1, dann folgte b = (ca)b = c(ab) = c·0 = 0; das widerspricht b ≠ 0. Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses, kann aber ein Rechtsinverses haben; für Rechtsnullteiler gilt dies entsprechend. Ein zweiseitiger Nullteiler hat kein Inverses.
Ist a ein Linksnullteiler, dann ist ba für jedes b ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich 0. Das Produkt ab muss dagegen weder ein Links- noch ein Rechtsnullteiler sein.
