Matrixlogarithmus

Grundidee und Definition

Der Matrixlogarithmus ist eine Matrixfunktion und verallgemeinert den skalaren Logarithmus auf Matrizen. Er steht in gewissem Sinn zum Matrixexponential in umgekehrter Beziehung.

Eine Matrix B heißt Logarithmus der gegebenen Matrix A, wenn

e^B=A.

Dabei bezeichnet e^B das Matrixexponential von B.

Existenz und Mehrdeutigkeit

Eine Matrix besitzt genau dann einen Logarithmus, wenn sie invertierbar ist. Auch bei einer reellen Matrix A kann ihr Logarithmus nicht reelle, sondern komplexe Einträge enthalten.

Der Matrixlogarithmus ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Das hängt damit zusammen, dass auch der Logarithmus einer komplexen Zahl nicht eindeutig ist.

Diagonalisierbare Matrizen

Für eine diagonalisierbare Matrix A kann man den Logarithmus mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen:

• Man bildet die Matrix V aus Eigenvektoren von A; jede Spalte von V ist ein Eigenvektor.
• Man berechnet V^{-1} und setzt A'=V^{-1}AV.
• Dann ist A' eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von A sind.
• Jedes Diagonalelement von A' wird durch seinen natürlichen Logarithmus ersetzt. Dadurch entsteht ln(A').
• Anschließend gilt

ln(A)=V(ln A')V^{-1}.

Eine reelle Matrix kann komplexe Eigenwerte besitzen, etwa eine Rotationsmatrix. Deshalb kann auch ihr Matrixlogarithmus komplex sein.

Beispiel zur Nicht-Eindeutigkeit

Für

A=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}, \qquad V=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1&1\1&1\end{pmatrix}=V^{-1}

ergibt sich

A'=\begin{pmatrix}-1&0\0&1\end{pmatrix}.

Der Wert ln(-1) ist nicht eindeutig, weil der natürliche Logarithmus bei −1 einen Verzweigungsschnitt hat. Bei Annäherung mit positivem Imaginärteil erhält man ln(-1)=iπ, bei Annäherung mit negativem Imaginärteil ln(-1)=-iπ. Das Beispiel zeigt sowohl die Mehrdeutigkeit als auch, dass der Logarithmus einer reellen Matrix komplexe Einträge haben kann.

Nichtdiagonalisierbare Matrizen

Für nichtdiagonalisierbare Matrizen, zum Beispiel \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}, funktioniert das Verfahren mit einer Diagonalmatrix nicht. Zunächst bestimmt man stattdessen die Jordansche Normalform und berechnet den Logarithmus ihrer Jordan-Blöcke.

Ein Jordan-Block lässt sich als B=λ(I+K) schreiben. Dabei ist λ≠0, wenn die Ausgangsmatrix invertierbar ist, und K hat auf sowie unter der Hauptdiagonalen nur Nullen. Mit der Reihenentwicklung

ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

folgt

ln B=(ln λ)I+K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots.

Für allgemeine Matrizen K muss diese Reihe nicht konvergieren. Hier ist K jedoch nilpotent, das heißt: Eine hinreichend hohe Potenz von K ist die Nullmatrix. Deshalb hat die Reihe nur endlich viele nicht verschwindende Terme. So erhält man

ln\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}.

Funktionalanalytische Sicht

Eine quadratische Matrix beschreibt einen beschränkten linearen Operator T auf dem endlichdimensionalen euklidischen Raum ℝ^n. Ist f auf einer offenen Menge der komplexen Ebene holomorph, also komplex differenzierbar, kann f(T) berechnet werden, wenn f auf dem Spektrum von T definiert ist. Das Spektrum ist im Fall von Matrizen die Menge ihrer Eigenwerte.

Die Funktion f(z)=ln(z) ist auf jeder einfach zusammenhängenden offenen Menge ohne 0 holomorph. Daher ist ln(T) definiert, wenn 0 nicht im Spektrum liegt und ein Pfad von 0 nach unendlich existiert, der das Spektrum nicht schneidet. Bildet das Spektrum beispielsweise eine Kreislinie mit Mittelpunkt 0, ist ein solcher Pfad nicht möglich.

Bei Matrizen ist das Spektrum endlich. Wenn 0 kein Eigenwert ist, also die Matrix invertierbar ist, ist die Pfadbedingung erfüllt und ln(T) wohldefiniert. Die Mehrdeutigkeit bleibt bestehen, weil verschiedene Zweige des komplexen Logarithmus auf der Menge der Eigenwerte gewählt werden können.