Mathematik in der Blütezeit des Islam – einfach erklärt

Gegenstand und Voraussetzungen

Die Mathematik in der Blütezeit des Islam bezeichnet die mathematische Forschung in den Ländern des Islam, vor allem vom 8. bis zum 13. Jahrhundert. Sie beruhte auf griechischen und indischen Erkenntnissen, entwickelte diese aber eigenständig weiter. Besonders wichtig waren die Entstehung der Algebra, die Verbreitung des dezimalen Stellenwertsystems, Fortschritte in der Trigonometrie sowie Beiträge zur Geometrie, Zahlentheorie und Kombinatorik.

Die Bezeichnung „arabische Mathematik“ ist ungenau, weil die Gelehrten aus verschiedenen Teilen der islamischen Welt stammten und nicht alle Araber oder Muslime waren. Die Schriften wurden jedoch fast ausschließlich auf Arabisch verfasst. Deshalb sind Bezeichnungen wie „Mathematik in den Ländern des Islam“ oder „islamische Mathematik“ üblich, ohne damit zwingend die Religion der einzelnen Mathematiker zu bezeichnen.

Nach der Ausbreitung des Islam und der Eroberung von Syrien, Mesopotamien, Persien, Ägypten, Nordafrika, der Iberischen Halbinsel und Teilen Zentralasiens begann um 750 eine Konsolidierungsphase. Bagdad wurde unter den Abbasiden zum Zentrum von Kultur und Wissenschaft. Harun ar-Raschid gründete dort eine Bibliothek; sein Sohn al-Ma'mun (Regierungszeit 813–833) ließ das „Haus der Weisheit“ (Bayt al-Hikma) errichten. Diese Einrichtung war Akademie, Bibliothek und Übersetzungswerkstatt. Bis zum Ende des 9. Jahrhunderts lagen dort wichtige griechische Werke, darunter Euklids Elemente, Archimedes’ Schriften, Apollonios’ Konika, Diophants Arithmetica und Menelaos’ Sphaerica, in arabischer Übersetzung vor. Auch indische Quellen wurden bereits im 8. Jahrhundert übersetzt. Arabisch wurde dadurch zur gemeinsamen Sprache von Wissenschaft, Handel und Kultur.

Zahlensystem und Rechnen

Die islamischen Mathematiker übernahmen aus Indien die Dezimalschreibweise mit Stellenwerten und der Null. Die Null zeigt an, dass eine bestimmte Stufenzahl nicht vorkommt: 207 enthält zweimal 100, keinmal 10 und siebenmal 1, während 27 zweimal 10 und siebenmal 1 enthält. Die Null wurde in der indischen Mathematik spätestens seit dem 7. Jahrhundert verwendet und von Brahmagupta beschrieben. Im 9. Jahrhundert übernahm die islamische Mathematik das indische Zahlensystem.

Al-Chwarizmi verfasste als einer der ersten eine arabischsprachige Darstellung dieses Systems. Sein Werk über das Rechnen mit indischen Zahlen wurde im 12. Jahrhundert ins Lateinische übersetzt und machte die indisch-arabischen Zahlen sowie das Dezimalsystem in Europa bekannt. Es behandelte nicht nur Addition und Subtraktion, sondern auch Multiplikation, Division und das Ziehen von Quadratwurzeln. Ein frühes erhaltenes arabisches Werk über Arithmetik ist Kuschyar ibn Labbans Buch Grundlagen des indischen Rechnens (fl. 971–1029), das die Verbreitung des Dezimalsystems weiter förderte.

Die damaligen Rechenverfahren waren zunächst für Staubtafeln optimiert: Auf mit feinem Sand bestreuten Tabletts konnten Ziffern schnell gelöscht und ersetzt werden. Später wurden diese Hilfsmittel durch Tinte und Papier abgelöst. Abu l-Hasan al-Uqlidisi beschrieb um 953 Verfahren, die für das Rechnen auf Papier geeignet waren.

Al-Uqlidisis Werk enthält außerdem die älteste bekannte Behandlung von Dezimalbrüchen. Er halbierte 19 fünfmal und erhielt 0,59375; außerdem vergrößerte er 135 fünfmal um ein Zehntel und erhielt 217,41885. Er verwendete noch kein heutiges Dezimaltrennzeichen, sondern markierte die Einerstelle mit einem kleinen senkrechten Strich. As-Samaw’al erklärte 1172 Dezimalbrüche als Mittel, reelle Zahlen mit prinzipiell beliebiger Genauigkeit anzunähern, und berechnete unter anderem Dezimalbruchentwicklungen von 210/13 und √10. Für höhere Wurzeln verwendete er Näherungsverfahren, deren Annäherung an den gesuchten Wert erkennbar ist. Dschamschid Masʿud al-Kaschi beschrieb 1427 in Schlüssel zur Arithmetik, ausgehend vom binomischen Lehrsatz, eine allgemeine Methode zur Berechnung n-ter Wurzeln.

Entstehung und Entwicklung der Algebra

Die Algebra entstand als eigenständiges mathematisches Teilgebiet in der islamischen Blütezeit. Sie verband die geometrisch und beweisorientiert arbeitende griechische Mathematik mit dem praktisch-rechnerischen Lösen von Gleichungen aus der indischen und älteren babylonischen Tradition. Eine wichtige Anwendung war die Besitzteilung nach dem islamischen Erbrecht, dessen Vorschriften häufig zu mathematischen Gleichungen führten.

Al-Chwarizmis Buch al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala gilt als Ausgangspunkt der Algebra als selbstständiger Wissenschaft. Der erste Teil behandelt das systematische Umformen und Lösen quadratischer Gleichungen, der zweite Teil enthält Anwendungsaufgaben. Durch al-dschabr („Ergänzen“) werden subtrahierte Terme auf beiden Seiten addiert; al-muqabala („Ausgleichen“) fasst gleichartige Terme auf einer Seite zusammen. Jede lösbare quadratische Gleichung wird dadurch auf eine von sechs Formen gebracht:

x² = px,
x² = p,
x = p,
x² + px = q,
x² + q = px,
px + q = x²,

wobei p und q positive Zahlen sind. Al-Chwarizmi bewies die Regeln für die Fälle 4, 5 und 6 geometrisch durch quadratische Ergänzung. Die damaligen Mathematiker verwendeten noch keine algebraischen Symbole und kein Konzept negativer Zahlen; Gleichungen wurden mit Worten und gegebenenfalls Figuren dargestellt.

Ein Beispiel ist 2x² + 100 − 20x = 58. Durch al-dschabr entsteht 2x² + 100 = 58 + 20x, durch al-muqabala 2x² + 42 = 20x und nach Division durch 2 die Normalform x² + 21 = 10x. Die beiden Lösungen sind 3 und 7. Bei Fall 5 können im Gegensatz zu den anderen Fällen keine, genau eine oder genau zwei positive Lösungen vorkommen.

Thabit ibn Qurra bewies al-Chwarizmis Lösungsformeln allgemein und zeigte ihre Übereinstimmung mit geometrischen Lösungen. Abu Kamil entwickelte Regeln zum Ausmultiplizieren und zum Rechnen mit Wurzeln, etwa √a · √b = √(a·b), und behandelte auch ein nichtlineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Al-Karadschi untersuchte beliebige Potenzen von x und Summen und Differenzen daraus. As-Samaw’al formulierte für positive und negative Exponenten das Potenzgesetz xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ und gab ein Verfahren für beliebige Polynomdivisionen an.

Omar Chayyam erweiterte al-Chwarizmis Einteilung auf kubische Gleichungen. Er unterschied 25 Standardformen; 11 davon führte er auf quadratische Gleichungen zurück. Für die übrigen 14 konstruierte er Lösungen als Schnittpunkte von Kegelschnitten. Eine algebraische Lösung durch Wurzelausdrücke war zu seiner Zeit noch nicht bekannt; sie wurde erst 1545 durch Gerolamo Cardano veröffentlicht.

Trigonometrie und sphärische Trigonometrie

Die Trigonometrie entstand aus astronomischen Aufgaben. Während die Griechen mit Sehnenlängen arbeiteten, übernahmen die islamischen Mathematiker aus Indien die Sinusgeometrie. In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin(α) das Verhältnis der dem Winkel α gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse. Der Zusammenhang mit der griechischen Sehne lautet sin(α) = 1/2 chord(2α).

Die islamische Mathematik erweiterte den Sinus zur heute üblichen Gruppe von sechs Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Tangens und Kotangens wurden zunächst über Schattenlängen erklärt. Für einen waagrechten Stab der Länge 1 ist tan(θ) die Schattenlänge an einer senkrechten Wand; ein senkrechter Stab, ein Gnomon, erzeugt einen Schatten der Länge cot(θ). Sekans und Kosekans entsprechen den zugehörigen Hypotenusen. Wegen cos(θ) = sin(90° − θ), cot(θ) = tan(90° − θ) und csc(θ) = sec(90° − θ) reichen in der Praxis Tafeln für Sinus, Tangens und Sekans.

Abu l-Wafa formulierte und bewies im 10. Jahrhundert das Additionstheorem sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β). Nasir ad-Din at-Tusi bewies im 13. Jahrhundert erstmals den Sinussatz für ebene Dreiecke. Damit konnten beliebige Dreiecke aus drei Angaben zu Winkeln oder Seiten berechnet werden.

Die sphärische Trigonometrie untersucht Dreiecke auf einer Kugel. Ihre Seiten sind Großkreisbögen; sie war besonders für die Astronomie wichtig, weil Himmelskörper als Punkte auf einer Himmelskugel aufgefasst werden. Ein bedeutender Fortschritt war der Sinussatz für sphärische Dreiecke, der von Abu l-Wafa und vermutlich unabhängig von al-Bīrūnī und einem seiner Lehrer formuliert und bewiesen wurde. Für ein sphärisches Dreieck mit Winkeln α, β, γ und gegenüberliegenden Seiten a, b, c gilt:

sin a / sin α = sin b / sin β = sin c / sin γ.

Damit lassen sich unter geeigneten Voraussetzungen Winkel und Seiten direkt berechnen. Al-Bīrūnī nutzte sphärische Trigonometrie außerdem zur Bestimmung der Qibla, also der Gebetsrichtung nach Mekka, aus den geografischen Längen und Breiten einer Stadt und Mekkas. Da ihm der Kosinussatz noch nicht zur Verfügung stand, verwendete er Hilfsdreiecke und mehrfache Anwendungen des Sinussatzes.

Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie

Euklids Elemente lagen im späten 8. Jahrhundert in arabischer Übersetzung vor und prägten die Geometrie in den Ländern des Islam. Untersucht wurden unter anderem regelmäßige Vielecke, Kegelschnitte und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Regelmäßige Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und Fünfzehnecke sowie daraus durch Seitenverdopplung entstehende Vielecke waren mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Für regelmäßige Sieben- und Neunecke benötigte man zusätzliche Hilfsmittel, etwa Kegelschnitte oder die Einschiebung (neusis). Abu l-Wafa untersuchte außerdem Konstruktionen mit einem Zirkel fester Öffnung, dem „eingerosteten Zirkel“. Abu Sahl al-Quhi und Ibrahim ibn Sinan beschrieben Konstruktionen der Ellipse, Parabel und Hyperbel. Thabit ibn Qurra verallgemeinerte den Satz des Pythagoras für beliebige Dreiecke.

Mehrere Mathematiker beschäftigten sich mit dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Alhazen und Omar Chayyam versuchten, es aus anderen Grundlagen zu gewinnen oder durch ein anderes Postulat zu ersetzen; Chayyam untersuchte dabei als Erster das Saccheri-Viereck. Nasir ad-Din at-Tusi setzte diese Untersuchungen im 13. Jahrhundert fort. Seit dem 19. Jahrhundert ist bekannt, dass das Parallelenaxiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist und daher nicht aus ihnen bewiesen werden kann.

In der Kombinatorik übernahmen islamische Mathematiker indische Ergebnisse und entwickelten sie teilweise weiter. Al-Karadschi zeigte im Zusammenhang mit Potenzsummen die Formel ∑ᵢ₌₁ⁿ i³ = (∑ᵢ₌₁ⁿ i)². Bei ihm und deutlicher bei as-Samaw’al finden sich wesentliche Schritte zur vollständigen Induktion und zum binomischen Lehrsatz (x + y)ⁿ = ∑ₖ₌₀ⁿ (n über k)xⁿ⁻ᵏyᵏ. Zur Berechnung der Binomialkoeffizienten verwendeten sie lange vor Blaise Pascal das pascalsche Dreieck.

Ibn Munim untersuchte rekursiv die Anzahl möglicher arabischer Wörter bis zu einer Länge von 10 Buchstaben. In der Zahlentheorie beschäftigten sich Gelehrte mit magischen Quadraten, figurierten Zahlen, vollkommenen Zahlen und befreundeten Zahlen. Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede gleich der Summe der echten Teiler der anderen ist. Thabit ibn Qurra fand dafür im 9. Jahrhundert ein Bildungsgesetz; al-Farisi entdeckte damit im späten 13. Jahrhundert das Paar 17.296 und 18.416 zusätzlich zum bereits bekannten Paar 220 und 284.

Niedergang, Weitergabe und Forschungsgeschichte

Im 9. und 10. Jahrhundert erreichten Naturwissenschaften und Philosophie im islamischen Kulturraum einen Höhepunkt. Ab dem 10. Jahrhundert verlagerten viele Madrasas ihre Schwerpunkte jedoch zunehmend auf Recht und Theologie. Empirische Forschung und hellenistisch geprägte Philosophie wurden von maßgeblichen Rechtsgelehrten kritischer beurteilt; al-Ghazālī (1058–1111) wies die Philosophie Ibn Sinas und anderer Gelehrter als nicht mit der islamischen Theologie vereinbar zurück. Politische Ereignisse wie die Reconquista, die Einwanderung der Seldschuken und der Mongolensturm, bei dem 1258 Bagdad fiel, schwächten die wissenschaftliche Entwicklung zusätzlich. Bedeutende Ausnahmen waren Nasir ad-Din at-Tusi (1201–1274) und Dschamschid Masʿud al-Kaschi (1380–1429).

Im mittelalterlichen Europa wurden beim Vordringen in zuvor islamisch beherrschte Gebiete Bibliotheken und arabische Übersetzungen zugänglich. Besonders in Toledo, das 1085 erobert wurde, wurden arabische Werke ins Lateinische übertragen. So gelangten Euklids Elemente, das Dezimalsystem, die Algebra al-Chwarizmis und Arbeiten Abu Kamils nach Westeuropa. Leonardo von Pisa griff diese Inhalte im Liber abbaci auf. Dagegen waren as-Samaw’als fortgeschrittene Algebra und Omar Chayyams Forschungen während der Renaissance weitgehend unbekannt. Ob bestimmte kombinatorische Ergebnisse, darunter das pascalsche Dreieck, aus der islamischen Mathematik übernommen oder unabhängig entwickelt wurden, ist unklar. Für ein Werk über sphärische Trigonometrie mit dem Sinussatz ist eine lateinische Übersetzung aus dem 12. Jahrhundert erhalten.

1485 verbot Sultan Bayezid II. den Buchdruck mit arabischen Schriftzeichen im gesamten Osmanischen Reich; später konnte das Verbot sogar mit der Todesstrafe geahndet werden. Es wird als zusätzliche Ursache für den wissenschaftlichen Niedergang betrachtet, weil die Wissensverbreitung dadurch erschwert wurde.

Während der Renaissance gerieten die Leistungen der islamischen Mathematik teilweise in Vergessenheit, und es entstand eine eurozentrische Sicht auf die Geschichte der Mathematik. Im 19. Jahrhundert begann die Wiederentdeckung. Franz Wöpcke wies 1851 nach, dass Omar Chayyam systematisch kubische Gleichungen behandelte, und veröffentlichte Übersetzungen arabischer Manuskripte. George Sarton überwand 1927 in seiner Introduction to the history of science die eurozentrische Darstellung und betonte die Bewahrung, eigenständige Weiterentwicklung und Vermittlung antiken Wissens durch die arabischsprachige Wissenschaft. Forschung von Mathematikhistorikern wie Roshdi Rashed, John Lennart Berggren und Jan Hogendijk hat das Bild dieser Epoche weiter präzisiert.