Liste besonderer Zahlen

Gegenstand und Grundidee

Die Liste sammelt Zahlen, die entweder auffällige mathematische Eigenschaften oder eine besondere kulturelle, technische und naturwissenschaftliche Bedeutung besitzen. Eine Zahl kann mehrfach erscheinen, wenn sie in verschiedenen Zusammenhängen wichtig ist. Die Einträge reichen von negativen Zahlen und grundlegenden Konstanten über Primzahlen, geometrische Größen und Folgen bis zu extrem großen endlichen Zahlen, unendlichen Größen und komplexen Zahlen.

Im Zentrum stehen nicht bloß Zahlenwerte, sondern Eigenschaften: Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar; eine vollkommene Zahl entspricht der Summe ihrer positiven Teiler ohne sie selbst; eine Carmichael-Zahl ist zusammengesetzt, verhält sich bei bestimmten Primzahltests aber ähnlich wie eine Primzahl. Andere Zahlen entstehen als Grenzwerte, Funktionswerte, geometrische Verhältnisse, Lösungen von Gleichungen oder Anzahlen möglicher Zustände.

Grundzahlen, Konstanten und Geometrie

0 ist das neutrale Element der Addition und ein absorbierendes Element der Multiplikation: Ist ein Faktor 0, ist auch das Produkt 0. Sie ist die erste Ordinalzahl und die Mächtigkeit der leeren Menge. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, die kleinste positive ganze Zahl und erfüllt 1·1 = 1¹ = 1 = 1! = √1. −1 ist eine Einheit in den ganzen Zahlen und erfüllt −1 = i² = e^(πi).

2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl. Außerdem gilt 2+2 = 2·2 = 2². Nach dem Satz von Fermat-Wiles ist n=2 die einzige natürliche Zahl n, für die aⁿ+bⁿ=cⁿ nichttriviale Lösungen besitzt. 3 ist die kleinste ungerade Primzahl; 4 die kleinste zusammengesetzte Zahl und nach dem Vier-Farben-Satz die ausreichende Farbanzahl für jede ebene Landkarte. 6 ist die kleinste vollkommene Zahl, denn 6=1+2+3. Weitere vollkommene Zahlen der Liste sind 28, 496 und 8128.

Wichtige Konstanten sind e=2,7182818284590452…, die Basis des natürlichen Logarithmus, und π=3,141592653589793… als Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser. Es gilt 2π=6,283185307179586… für den Umfang des Einheitskreises. Der Goldene Schnitt ist Φ=(1+√5)/2=1,6180339887498948…, sein Kehrwert ist 1/Φ=Φ−1=0,6180339887498948…. Weitere grundlegende Werte sind √2=1,4142135623730950…, √3=1,7320508075688772… und ln(2)=0,6931471805599453….

Viele Konstanten beschreiben Grenzwerte oder Fraktale. Die Hausdorff-Dimension der Cantor-Menge ist log₃2=0,6309297535714574…, die der Koch-Kurve log₃4=1,2618595071429148… und die des Sierpinski-Dreiecks log₂3=1,5849625007211561…. Die Euler-Mascheroni-Konstante ist γ=lim(n→∞)(Hₙ−ln n)=0,5772156649015328…. Die Ω-Konstante 0,5671432904097838… löst x=exp(−x). Der Fixpunkt des Kosinus, also die Lösung von cos(x)=x, ist 0,7390851332151606….

Besondere ganze Zahlen und typische Muster

Zahlentheoretische Kategorien bilden einen großen Teil der Liste. Mersenne-Zahlen haben die Form 2ᵖ−1; Beispiele für Mersenne-Primzahlen sind 3=M₂, 7=M₃, 31=M₅, 127=M₇ und 8191=M₁₃. Fermat-Zahlen treten unter anderem als 3=F₀, 5=F₁, 17=F₂, 257=F₃ und 65.537=F₄ auf. 2047=2¹¹−1=23·89 ist dagegen die kleinste Mersenne-Zahl mit primem Exponenten, die nicht prim ist.

Zahlen können durch Darstellungen als Potenzsummen besonders werden. 25=3²+4² ist die kleinste Quadratzahl, die Summe zweier Quadratzahlen ist. 50=5²+5²=7²+1² besitzt zwei solche Darstellungen; 325 besitzt drei und 1105 vier. Die Hardy-Ramanujan-Zahl 1729 ist die kleinste Zahl mit zwei Darstellungen als Summe zweier positiver Kuben: 10³+9³=12³+1³. Die Taxicab-Zahl Ta(3)=87.539.319 besitzt drei, Ta(4)=6.963.472.309.248 vier solche Darstellungen.

Narzisstische Zahlen entsprechen der Summe ihrer Ziffern, jeweils potenziert mit der Stellenzahl. Das kleinste mehrstellige Beispiel ist 153, denn 1³+5³+3³=153. 3435 ist eine Münchhausen-Zahl: 3³+4⁴+3³+5⁵=3435. Bei Kaprekar-Verfahren entstehen feste Werte: Für dreistellige Zahlen ist 495 eine Kaprekar-Konstante, für vierstellige Zahlen 6174. Beim beschriebenen Spiegelzahlverfahren für dreistellige Nichtpalindrome erhält man stets 1089.

Technische Grenzen folgen oft aus Zweierpotenzen. Eine 8-Bit-Variable hat 256=2⁸ mögliche Werte und den größten Wert 255=2⁸−1. Entsprechend sind es bei 16 Bit 65.536 Werte und maximal 65.535, bei 32 Bit 4.294.967.296 Werte und maximal 4.294.967.295 sowie bei 64 Bit 18.446.744.073.709.551.616 Werte und maximal 18.446.744.073.709.551.615.

Sehr große endliche Zahlen

Mit zunehmender Größe lassen sich viele besondere Zahlen nicht mehr sinnvoll dezimal ausschreiben. Einige entstehen aus Primzahl- und Vollkommenheitsproblemen. Gerade vollkommene Zahlen werden in der Liste in der Form 2ⁿ(2ⁿ⁺¹−1) angegeben, wenn der zweite Faktor eine Mersenne-Primzahl ist. Beispiele oberhalb 10¹⁰⁰ sind 2⁵²⁰(2⁵²¹−1), die 13. vollkommene Zahl, und 2⁸⁵⁹⁴³²(2⁸⁵⁹⁴³³−1), die 33. vollkommene Zahl.

Als größte bekannte Primzahl mit Stand 12. Oktober 2024 nennt der Artikel die 52. bekannte Mersenne-Primzahl 2¹³⁶.²⁷⁹.⁸⁴¹−1 mit 41.024.320 Ziffern. Die doppelte Mersennezahl 2^(2.305.843.009.213.693.951)−1, gleich 2^(2⁶¹−1)−1, besitzt etwa 694 Billiarden Ziffern und ist möglicherweise prim.

9^(9⁹)=9^387420489≈4,281…·10^369693099 ist die größte mit drei Dezimalziffern beschreibbare Zahl und hat 369.693.100 Ziffern. Ein Googol ist 10¹⁰⁰, ein Googolplex 10^Googol; durch weitere Potenztürme entstehen Googolplexplex und folgende Bezeichnungen. Die Skewes-Zahl e^(e^(e⁷⁹)) war von 1931 bis 1971 die größte in einem mathematischen Beweis verwendete endliche Zahl. Später nahm Grahams Zahl G₆₄ diese Rolle ein. Mega, Megiston und Mosers Zahl werden durch die Steinhaus-Moser-Notation beschrieben. Die Goodstein-Folge für n=12 wächst zunächst zu unvorstellbar großen Zahlen, endet aber schließlich bei 0.

Unendliche und komplexe Größen

∞ bezeichnet Unendlich und ist selbst keine Zahl. Es ist größer als alle endlichen Zahlen der Liste; −∞ liegt unter allen ganzen, rationalen und reellen Zahlen. Rechnen mit ∞ ist nur eingeschränkt möglich: Insbesondere sind 0·∞ und ∞/∞ im Allgemeinen nicht definiert.

ℵ₀ ist die abzählbare Mächtigkeit der natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen und die kleinste transfinite Kardinalzahl. ω ist die kleinste Ordinalzahl oberhalb aller natürlichen Zahlen und die erste Limeszahl. Obwohl ω=ℵ₀ angegeben wird, unterscheiden sich Ordinal- und Kardinalzahlarithmetik. ε₀ ist die kleinste Ordinalzahl, die nicht durch endlich viele Additionen, Multiplikationen und Potenzierungen aus ω erreicht wird; sie bleibt abzählbar, sodass ω<ε₀<ω₁ gilt. Die Kontinuumsmächtigkeit ist c=2^ℵ₀=ℶ₁; sie ist die Mächtigkeit der reellen und komplexen Zahlen sowie der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Für die Menge reeller Funktionen wird f=2^c=ℶ₂ angegeben.

Bei den komplexen Zahlen ist i die imaginäre Einheit mit i²=−1 und eine vierte Einheitswurzel. Ihr Kehrwert ist −i, denn i·(−i)=1. Die Zahlen ½(−1±i√3) sind die primitiven dritten Einheitswurzeln. Die eulersche Identität liefert e^(πi)=−1, während 2πi eine Periode der komplexen Exponentialfunktion ist. Die Nullstelle 1/2+i·14,134725141734693… der Riemannschen Zetafunktion besitzt den kleinsten positiven Imaginärteil unter ihren nichttrivialen Nullstellen.

Kulturelle, technische und naturwissenschaftliche Bedeutung

Zahlen strukturieren Alltag, Maße und Technik. 10 ist die Basis des Dezimalsystems; 12 bezeichnet ein Dutzend, die Monate eines Jahres und die Halbtöne einer Oktave. 24 Stunden bilden einen Tag, 60 Sekunden eine Minute und 60 Minuten eine Stunde. Ein gewöhnliches Jahr hat 365 Tage, ein Schaltjahr 366; das tropische Jahr dauert 365,24219… Tage. Der siderische Monat dauert 27,322 Tage, die synodische Periode des Mondes 29,530588… Tage.

Wichtige Winkelwerte sind 90° für den rechten Winkel, 180° für einen gestreckten Winkel und 360° für einen Vollwinkel; in Gon entsprechen 100 Gon einem rechten und 400 Gon einem vollen Winkel. Der normierte Wert der Erdbeschleunigung beträgt 9,8066500 m/s² und wird praktisch häufig zu 9,81, 9,8 oder 10 gerundet. Die Avogadro-Zahl ist 6,02214076·10²³ und gibt die Teilchenzahl in 1 Mol an.

In der Informatik beruhen Speichergrößen auf 1024=2¹⁰: 1 KiB=2¹⁰ Byte, 1 MiB=2²⁰ Byte, 1 GiB=2³⁰ Byte und 1 TiB=2⁴⁰ Byte. IPv4 ermöglicht 2³²=4.294.967.296 Adressen, IPv6 dagegen 2¹²⁸=340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.456 Adressen. 24-Bit-Farbtiefe erlaubt 2²⁴=16.777.216 Farbabstufungen.

Auch Spiele und Rätsel erzeugen besondere Anzahlen: Ein 3×3×3-Rubik-Würfel besitzt 43.252.003.274.489.856.000 durch Drehungen erreichbare Positionen; „Gottes Zahl“ 20 ist die maximale Anzahl von Drehungen, die zum Lösen aus einer beliebigen Stellung benötigt wird. Das 8-Damen-Problem hat 92 Lösungen. Beim deutschen Lotto „6 aus 49“ gibt es 13.983.816 Kombinationen.

Kulturell gelten Zahlen je nach Tradition unterschiedlich: 7 steht häufig für Vollständigkeit und bezeichnet die Wochentage; 8 gilt in China als Glückszahl; 13 kann Glücks- oder Unglückszahl sein; 42 ist in Per Anhalter durch die Galaxis die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest; 666 ist in der Offenbarung die „Zahl des Tieres“, während 777 als göttliche Zahl absoluter Perfektion bezeichnet wird. Praktische Zahlencodes sind unter anderem 110 für die Polizei und 112 für Feuerwehr beziehungsweise den Euro-Notruf in Deutschland sowie 911 als Notrufnummer in Nordamerika.