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Minus eins
Potenzen von negativen Ganzzahlen. Bearbeiten. Die Potenz von reellen Zahlen ohne null kann auf negative Exponenten erweitert werden. Es wird definiert x −1 …
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Definition und Bedeutung
−1 ist die additive Inverse der 1. Das bedeutet: Addiert man −1 zu 1, erhält man das neutrale Element der Addition, also 0. −1 ist eine negative ganze Zahl; sie ist größer als −2 und kleiner als 0.
In der Mathematik hat −1 einige ähnliche, aber leicht unterschiedliche Eigenschaften gegenüber der positiven 1. Eine wichtige Beziehung besteht zur eulerschen Identität: e^{iπ} = −1.
In der Informatik wird −1 häufig als Initialwert für Integer-Variablen verwendet, deren Werte normalerweise nicht negativ sind. Der Wert −1 zeigt dann an, dass die Variable noch keine sinnvolle Information enthält.
Multiplikation und Vorzeichenwechsel
Eine Multiplikation mit −1 bewirkt bei jeder reellen Zahl x einen Vorzeichenwechsel. Es gilt daher
x + (−1)·x = 1·x + (−1)·x = (1 + (−1))·x = 0·x = 0.
Dabei werden das Distributivgesetz, das neutrale Element 1 der Multiplikation und die Eigenschaft 0·x = 0 verwendet. Die letzte Eigenschaft folgt aus
0·x = (0 + 0)·x = 0·x + 0·x,
indem man auf beiden Seiten 0·x kürzt. Aus x + (−1)·x = 0 folgt, dass (−1)·x das additive Inverse zu x ist. Deshalb gilt (−1)·x = −x.
Diese Folgerungen gelten nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch in jedem Ring. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die die grundlegenden Rechenregeln der ganzen und reellen Zahlen verallgemeinert.
Das Quadrat von −1
Das Quadrat von −1 ist das Produkt von −1 mit sich selbst und beträgt 1:
(−1)·(−1) = 1.
Daraus folgt allgemein die Regel, dass ein Produkt von zwei negativen Zahlen positiv ist. Ein algebraischer Beweis beginnt mit
0 = −1·0 = −1·[1 + (−1)].
Die erste Gleichung folgt aus 0·x = 0, die zweite aus der Definition von −1 als additivem Inversen von 1. Wendet man das Distributivgesetz an, erhält man
0 = −1·1 + (−1)·(−1) = −1 + (−1)·(−1).
Da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, gilt −1·1 = −1. Addiert man auf beiden Seiten 1, folgt (−1)·(−1) = 1. Auch dieser Beweis gilt in jedem Ring.
Potenzen mit dem Exponenten −1
Für reelle Zahlen, die nicht 0 sind, wird die Potenzierung auf negative Exponenten erweitert. Definiert ist
x^{−1} = 1/x.
Eine Zahl mit dem Exponenten −1 zu potenzieren bedeutet also, ihren Kehrwert zu bilden. Wird diese Definition auf negative Ganzzahlen als Exponenten erweitert, bleibt für reelle Zahlen x, a und b mit x ungleich 0 das Exponentialgesetz erhalten:
x^a · x^b = x^{a+b}.
Negative Exponenten lassen sich außerdem auf invertierbare Elemente eines Rings übertragen. Dabei wird x^{−1} als das inverse Element der Multiplikation mit x definiert.
Quadratwurzel von −1
Die komplexe Zahl i erfüllt die Gleichung i² = −1 und wird deshalb als eine Quadratwurzel von −1 bezeichnet. Die einzige andere komplexe Zahl, die x² = −1 erfüllt, ist −i.
In der Quaternion-Algebra, die die komplexe Ebene enthält, besitzt die Gleichung x² = −1 dagegen unendlich viele Lösungen.
Darstellung im Computer
Computer können −1 und negative ganze Zahlen auf verschiedene Weise darstellen. Am häufigsten wird das Zweierkomplement verwendet. Bei −1 entspricht die Darstellung im Zweierkomplement der Darstellung der positiven Ganzzahl 2^n − 1, wobei n die Anzahl der binären Stellen beziehungsweise Bits des Datentyps angibt.
Für n = 8 lautet die Darstellung von −1 im Zweierkomplement 11111111₂. Dieselbe Bitfolge entspricht in der Standarddarstellung der positiven Zahl 255. Hexadezimal wird die Bitfolge als FF₁₆ geschrieben.