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Euklidischer Ring
In der Mathematik ist ein euklidischer Ring ein Ring, in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest vorhanden ist, wie man sie von den ganzen Zahlen kennt.
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Grundidee und Bedeutung
Ein euklidischer Ring ist ein Ring, in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest möglich ist, ähnlich wie bei ganzen Zahlen. Der Rest wird dabei nicht durch seine Größe im üblichen Sinn, sondern durch eine Bewertungsfunktion bestimmt. Diese ordnet den von 0 verschiedenen Elementen eine Zahl oder, in einer Variante, einen reellen Wert zu.
Die entscheidende Folge ist ein euklidischer Algorithmus: Damit kann man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Ringelemente bestimmen. Die verschiedenen Definitionen unterscheiden sich in Details der Bewertungsfunktion, beschreiben bei Integritätsringen mit 1 aber dieselbe Klasse von Ringen. Ein Integritätsring ist hier ein kommutativer Ring mit 1 ohne Nullteiler.
Division mit Rest und Bewertungsfunktionen
In Variante 1 heißt ein Integritätsring R euklidisch, wenn es eine Funktion g: R{0} → ℕ₀ gibt. Für alle x,y ∈ R mit y ≠ 0 müssen q,r ∈ R existieren mit x = qy + r. Dabei gilt entweder r = 0 oder g(r) < g(y). Der Rest ist also entweder null oder hat eine kleinere Bewertung als der Divisor. Zusätzlich muss für x,y ∈ R{0} stets g(xy) ≥ g(x) gelten. g heißt euklidische Normfunktion oder euklidischer Betrag.
Variante 2 erweitert g zu einer Funktion g: R → ℕ₀ und fordert g(0) = 0. Dann lautet die Restbedingung immer g(r) < g(y); bei r = 0 ist sie wegen g(0) = 0 eingeschlossen. Auch hier gilt g(xy) ≥ g(x) für x,y ≠ 0.
Variante 3 fordert nur die Division mit Rest und eine Gradfunktion g: R{0} → ℕ₀; die Bedingung für Produkte wird nicht ausdrücklich verlangt. Sie ist dennoch nicht schwächer: Gibt es auf einem Integritätsring mit 1 eine Bewertungsfunktion nach einer dieser drei Varianten, so existieren auch Funktionen für die anderen Varianten. Die drei Definitionen sind daher äquivalent.
Reellwertige Variante und Folgen
In Variante 4 darf die Wertefunktion g: R{0} → ℝ reelle Werte haben. Neben der Division mit Rest muss gelten: Zu jedem s ∈ ℝ gibt es nur endlich viele Werte aus W = {g(a) | a ∈ R{0}}, die kleiner als s sind. Formal: ∃n ∈ ℕ: card {wᵢ ∈ W | wᵢ < s} = n. Diese Endlichkeitsbedingung stellt sicher, dass die schrittweise Verringerung der Restbewertung nicht unbegrenzt fortgesetzt werden kann.
Bei Bewertungsfunktionen nach Variante 1 und 2 erhalten assoziierte Elemente dieselbe Bewertung. Assoziierte Elemente unterscheiden sich nur durch Multiplikation mit einer Einheit; insbesondere sind die Einheiten, abgesehen von 0, die Elemente mit minimaler Bewertung.
Jeder euklidische Ring besitzt eine minimale Bewertungsfunktion nach Variante 2. Es gibt einen Algorithmus zu ihrer iterativen Bestimmung, doch eine geschlossene Formel für sie zu finden ist im Allgemeinen aufwendig. Außerdem ist jeder euklidische Ring ein Hauptidealbereich: Wählt man in einem Ideal I ein Element a minimaler Bewertung, dann gilt I = (a). Jedes Ideal wird also von einem Element erzeugt. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.
Wichtige Beispiele und Gegenbeispiele
Der Ring ℤ der ganzen Zahlen ist euklidisch; eine natürliche Norm ist g(x) = |x| für x ≠ 0. Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrags. Jeder Körper K ist ebenfalls euklidisch, mit g(0) = 0 und g(a) = 1 für a ∈ K{0}.
Der Polynomring K[X] über einem Körper K ist euklidisch. Seine euklidische Norm ist der Grad eines Polynoms; sie ist bereits die minimale euklidische Norm. Dagegen ist ℤ[X] nicht euklidisch, weil das Ideal (X,2) kein Hauptideal ist.
Die gaußschen Zahlen ℤ[i] sind euklidisch mit g(a+bi) = a²+b². ℤ[√−3] ist nicht euklidisch: 2+2√−3 und 4 besitzen keinen ggT; 1+√−3 und 2 sind zwei maximale gemeinsame Teiler, aber teilerfremd.
Der Ganzheitsring von ℚ(√d) für quadratfreies d ∈ ℤ ist genau dann mit der quadratischen Norm euklidisch, wenn d eine der 21 Zahlen −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ist. d = −1 gehört zu den gaußschen Zahlen, d = −3 zu den Eisenstein-Zahlen ℤ[(-1+√−3)/2] und d = 5 zu ℤ[(1+√5)/2]. Für andere Werte, etwa d = 69, kann der Ring mit einer anderen Norm euklidisch sein.
Verallgemeinerungen
Die Definitionen lassen sich auch auf Ringe mit Nullteilern übertragen. Dann kann gegebenenfalls die Bedingung g(xy) ≥ g(x) nur für xy ≠ 0 verlangt werden. Wie im nullteilerfreien Fall ist jedes Ideal ein Hauptideal. Solche Ringe sind Hauptidealringe im erweiterten Sinn, also principal ideal rings (PIR), aber keine Hauptidealbereiche, also keine principal ideal domains (PID).
Auch nicht-kommutative Ringe können euklidisch sein. Man unterscheidet links- und rechtseuklidisch, je nachdem auf welcher Seite die Division formuliert wird. Die Hurwitzquaternionen bilden ein Beispiel: Mit ihrer Norm sind sie sowohl links- als auch rechtseuklidisch.