Ordinalzahl – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Ordinalzahlen verallgemeinern die Positionsnummern einer Folge auf beliebige wohlgeordnete Mengen. Eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, in der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Wie bei gewöhnlichen Folgen gibt es die kleinste Position 0; jedes Element außer einem möglichen letzten hat einen eindeutigen Nachfolger.

Die endlichen Ordinalzahlen sind die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … . Darüber hinaus gibt es transfinite Ordinalzahlen wie ω, ω+1, ω·2, ω², ω^ω und ω₁. Dabei ist ω die kleinste unendliche, abzählbare Ordinalzahl und größer als jede natürliche Zahl; ω₁ ist üblicherweise die erste überabzählbare unendliche Ordinalzahl.

Ordinalzahlen beschreiben Positionen bzw. Ordnungstypen, Kardinalzahlen dagegen die Größe einer Menge. Bei endlichen Mengen fallen beide Begriffe zusammen, bei unendlichen müssen sie unterschieden werden. Ordinalzahlen ermöglichen transfinite Induktion, also die Verallgemeinerung der vollständigen Induktion auf wohlordnete Mengen oder echte Klassen. Die Gesamtheit On beziehungsweise Ord aller Ordinalzahlen ist keine Menge, sondern eine echte Klasse. Für wichtige Anwendungen wie transfinite Induktion und die Definition von Kardinalzahlen als Ordinalzahlen werden das Auswahlaxiom oder der äquivalente Wohlordnungssatz benötigt.

Natürliche Zahlen als Mengen

In der von-Neumann-Konstruktion werden natürliche Zahlen als Mengen ihrer Vorgänger definiert:

0 := ∅, 1 := {0} = {∅}, 2 := {0,1}, 3 := {0,1,2}, und allgemein n+1 := n ∪ {n} = {0,1,…,n}.

Die Ordnung wird durch die Elementrelation beschrieben: a ist kleiner als b genau dann, wenn a ein Element von b ist. So enthält 4 die Elemente 0, 1, 2, 3 und kann als {0<1<2<3} geschrieben werden. Die Menge aller natürlichen Zahlen ist ω := {0<1<2<3<…}. Sie ist ein Modell des Peano-Axiomensystems; ihre Existenz wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert.

Ordnungstypen und formale Definition

Ein Ordnungsisomorphismus zwischen total geordneten Mengen (A, ≤A) und (B, ≤B) ist eine Bijektion f: A → B, für die für alle a,b∈A gilt: a≤A b genau dann, wenn f(a)≤B f(b). Dann heißen die Mengen ordnungsisomorph, geschrieben A≅B. Die Gesamtheit gleichartig geordneter Mengen heißt Ordnungstypus.

Jede endliche wohlgeordnete Menge ist zu genau einer natürlichen Zahl ordnungsisomorph. Für eine wohlgeordnete Menge sind äquivalent: Sie ist endlich; ihre umgekehrte Ordnung ist ebenfalls eine Wohlordnung; jede nichtleere Teilmenge besitzt ein größtes Element.

Nach der heute meist verwendeten Definition von John von Neumann ist eine Menge S eine Ordinalzahl, wenn jedes Element von S zugleich Teilmenge von S ist und S bezüglich ⊆ total geordnet ist. Mit dem Fundierungsaxiom folgt daraus automatisch die Wohlordnung. Jede wohlgeordnete Menge X ist zu genau einer Ordinalzahl ordnungsisomorph; diese wird meist ord(X) oder X̄ genannt. Ordinalzahlen sind damit eindeutige Repräsentanten von Ordnungstypen und nicht bloß Äquivalenzklassen aller isomorphen Mengen.

Eine Menge X heißt transitiv, wenn mit jedem Element y auch alle Elemente von y in X liegen. Es gibt mehrere äquivalente Definitionsformen für Ordinalzahlen, etwa als transitive, durch ∈ wohlgeordnete Mengen. Die Menge ω ist die kleinste transfinite Ordinalzahl.

Nachfolger, Limeszahlen und Supremum

Die Elemente einer von-Neumann-Ordinalzahl sind genau die kleineren Ordinalzahlen. Für zwei Ordinalzahlen σ und τ gilt daher: σ∈τ genau dann, wenn σ eine echte Teilmenge von τ ist. Außerdem gilt genau eine der Möglichkeiten σ∈τ, τ∈σ oder σ=τ. Jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet; deshalb sind auch Vereinigung und Durchschnitt von Ordinalzahlen wieder Ordinalzahlen.

Für eine Menge S von Ordinalzahlen heißt ⋃S = sup S ihr Supremum. Es ist eine obere Grenze von S; für jedes β<sup S gibt es ein ξ∈S mit β<ξ. Das Supremum der leeren Menge ist 0. Die kleinste Ordinalzahl, die größer als jedes Element von S ist, heißt obere Grenze sup⁺S.

Der Nachfolger von ξ ist die kleinste größere Ordinalzahl s(ξ), häufig ξ+1. Eine Ordinalzahl mit Vorgänger heißt Nachfolgerzahl oder Zahl erster Art. Eine positive Ordinalzahl ohne Vorgänger heißt Limes- oder Grenzzahl; genau dann gilt ξ=sup ξ=⋃ξ. Die Zahl 0 und die Nachfolgerzahlen heißen isoliert; 0 und die Limeszahlen heißen Zahlen zweiter Art. Somit ist 0 die einzige isolierte Zahl zweiter Art. Beispielsweise ist ω eine Limeszahl und hat keinen Vorgänger.

On kann keine Menge sein: Wäre On eine Menge, wäre sie selbst eine Ordinalzahl θ und müsste θ∈θ erfüllen. Das ist unmöglich. Daraus folgt auch, dass es zu jeder Menge von Ordinalzahlen stets größere Ordinalzahlen gibt.

Rechnen und Topologie

Die Rechenoperationen für Ordinalzahlen verallgemeinern die endliche Arithmetik durch transfinite Rekursion. Die Summe η+ξ ist der Ordnungstyp einer wohlgeordneten Menge, bei der zunächst alle Elemente von η und anschließend alle Elemente von ξ stehen. Anders als bei natürlichen Zahlen ist die Addition im Allgemeinen nicht kommutativ. Mit der Cantorschen Polynomdarstellung lassen sich außerdem natürliche Operationen zwischen Ordinalzahlen einführen.

Jede Ordinalzahl trägt über ihre totale Ordnung eine Ordnungstopologie. Darin konvergiert (0,1,2,…) gegen ω; außerdem konvergiert (ω,ω^ω,ω^(ω^ω),…) gegen ε₀=ω^(ω^(…)). Jede Ordinalzahl ohne Vorgänger ist Grenzwert eines Netzes kleinerer Ordinalzahlen. Die kleinste Mächtigkeit eines solchen Netzes heißt Konfinalität und kann überabzählbar sein. Deshalb ist ω₁ kein Grenzwert einer Folge kleinerer Ordinalzahlen.

Im Raum ω₁+1 liegt ω₁ im Abschluss der Teilmenge ω₁, aber keine Folge aus ω₁ konvergiert gegen ω₁. Der Raum ω₁ erfüllt das erste, aber nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom; ω₁+1 erfüllt keines von beiden. ω₁ besitzt genau eine Hausdorff-Kompaktifizierung, nämlich ω₁+1; dort stimmen Stone-Čech-Kompaktifizierung und Einpunkt- beziehungsweise Alexandroff-Kompaktifizierung überein.