Kugelflächenfunktionen

Kernidee und Definition

Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Sie werden verwendet, wenn Probleme mit Kugelsymmetrie in Kugelkoordinaten beschrieben werden. Der Laplace-Operator zerfällt dann in einen radialen Anteil und einen Winkelanteil. Genau dieser Winkelanteil hat die Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen.

Die zentrale Eigenwertgleichung lautet:

(∂²/∂ϑ² + (cos ϑ/sin ϑ) ∂/∂ϑ + (1/sin² ϑ) ∂²/∂φ²) Y_lm(ϑ,φ) = -l(l+1) Y_lm(ϑ,φ).

Die Kugelflächenfunktionen haben die Form

Y_lm(ϑ,φ) = (1/√(2π)) N_lm P_lm(cos ϑ) e^(i m φ),

mit dem Normierungsfaktor

N_lm = √((2l+1)/2 · (l-m)!/(l+m)!).

Dabei sind P_lm die zugeordneten Legendrepolynome. Die Zahlen l und m sind ganzzahlig eingeschränkt: l ∈ N₀ und |m| ≤ l. Der Winkel ϑ ist der Polarwinkel, φ der Azimutwinkel. Die Kugelflächenfunktionen können komplexe Werte annehmen.

Herleitung über den Laplace-Operator

In Kugelkoordinaten wird der Laplace-Operator als Summe aus radialem Anteil und Winkelanteil geschrieben:

Δ = ∂²/∂r² + (2/r) ∂/∂r + (1/r²)(∂²/∂ϑ² + (cos ϑ/sin ϑ) ∂/∂ϑ + (1/sin² ϑ) ∂²/∂φ²) = Δ_r + (1/r²) Δ_ϑ,φ.

Der eingeklammerte Teil heißt Winkelanteil Δ_ϑ,φ. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators: L̂² = -ℏ² Δ_ϑ,φ.

Zur Lösung der Laplace-Gleichung Δf(r,ϑ,φ)=0 verwendet man einen Separationsansatz, also eine Zerlegung in einen radialen und einen winkelabhängigen Teil:

f(r,ϑ,φ) = R_l(r) Y_lm(ϑ,φ).

Nach Einsetzen und Umformen ergibt sich, dass radialer Anteil und Winkelanteil getrennt betrachtet werden können. Beide Teile müssen denselben konstanten Wert liefern, der als l(l+1) gewählt wird. Daraus entstehen zwei Gleichungen: die Radialgleichung

Δ_r R_l(r) = (l(l+1)/r²) R_l(r)

und die Winkelgleichung

Δ_ϑ,φ Y_lm(ϑ,φ) = -l(l+1) Y_lm(ϑ,φ).

Damit wird eine partielle Differentialgleichung mit drei Variablen auf einfachere Gleichungen reduziert. Wegen der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen lässt sich jede quadratintegrable Funktion als Summe solcher Bausteine darstellen:

f(r,ϑ,φ) = Σ_l,m R_l(r) Y_lm(ϑ,φ).

Lösung und Darstellung

Die Eigenwertgleichung des Winkelanteils wird ebenfalls durch Separation gelöst. Man setzt

Y_lm(ϑ,φ) = Θ_lm(ϑ) Φ_m(φ).

Dadurch entstehen eine Polargleichung für Θ_lm(ϑ) und eine Azimutalgleichung für Φ_m(φ). Die Azimutalgleichung lautet:

∂²Φ_m(φ)/∂φ² = -m² Φ_m(φ).

Ihre Lösung ist Φ_m(φ)=A exp(i m φ). Weil die Funktion auf der Kugeloberfläche eindeutig sein muss, gilt Φ_m(φ+2π)=Φ_m(φ). Daraus folgt exp(i m 2π)=1, also m ∈ Z. Mit der Normierung ∫₀²π |Φ_m(φ)|² dφ = 1 erhält man

Φ_m(φ) = (1/√(2π)) exp(i m φ).

Die Polargleichung wird mit einem Potenzreihenansatz gelöst. Endliche, eindeutige und stetige Lösungen entstehen nur für l ∈ N₀ und |m| ≤ l. Die Lösungen sind die zugeordneten Legendrepolynome P_lm(cos ϑ). Mit der Normierung

∫₀π |Θ_lm(ϑ)|² sin(ϑ) dϑ = 1

ergibt sich

Θ_lm(ϑ)= √((2l+1)/2 · (l-m)!/(l+m)!) P_lm(cos ϑ).

Das Produkt aus Polar- und Azimutallösung ist die Kugelflächenfunktion:

Y_lm(ϑ,φ)= (1/√(2π)) √((2l+1)/2 · (l-m)!/(l+m)!) P_lm(cos ϑ) exp(i m φ).

Wichtige Eigenschaften und Entwicklung

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormal. Das bedeutet: Das Integral über das Produkt einer komplex konjugierten Kugelflächenfunktion mit einer anderen ist 1, wenn beide dieselben Indizes l und m haben, und sonst 0:

∫ Y_lm*(ϑ,φ) Y_l'm'(ϑ,φ) dΩ = δ_ll' δ_mm'.

Dabei ist δ das Kronecker-Delta, und dΩ = sin ϑ dϑ dφ ist das Flächenelement auf der Kugeloberfläche.

Sie sind außerdem vollständig. Jede quadratintegrable Funktion f(ϑ,φ) auf der Kugeloberfläche kann daher nach Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

f(ϑ,φ)= Σ_l=0^∞ Σ_m=-l^l c_lm Y_lm(ϑ,φ).

Die Koeffizienten berechnet man durch

c_lm = ∫₀²π ∫₀π Y_lm*(ϑ,φ) f(ϑ,φ) sin ϑ dϑ dφ.

Diese Entwicklung ist ein Analogon zur Fourierreihe: So wie Funktionen einer Variablen mit Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden können, können Funktionen auf einer Kugeloberfläche mit Kugelflächenfunktionen zerlegt werden.

Weitere Eigenschaften sind die Parität und die komplexe Konjugation. Bei der Transformation r⃗ → -r⃗, also (r,ϑ,φ) → (r,π-ϑ,π+φ), gilt

Y_lm(π-ϑ,π+φ)=(-1)^l Y_lm(ϑ,φ).

Außerdem gilt

Y_l,-m(ϑ,φ)=(-1)^m Y_lm*(ϑ,φ).

Additionstheorem und Beispiele

Ein wichtiges Resultat ist das Additionstheorem. Es verbindet Kugelflächenfunktionen mit Legendrepolynomen. Sind zwei Einheitsvektoren x⃗ und x⃗' durch die Kugelkoordinaten (ϑ,φ) und (ϑ',φ') gegeben, dann ist der Winkel γ zwischen ihnen durch

cos γ = cos ϑ cos ϑ' + sin ϑ sin ϑ' cos(φ-φ')

bestimmt. Das Additionstheorem lautet:

P_l(cos γ) = (4π/(2l+1)) Σ_m=-l^l Y_lm(ϑ,φ) Y_lm*(ϑ',φ').

Für γ=0 folgt daraus

Σ_m=-l^l |Y_lm(ϑ,φ)|² = (2l+1)/(4π).

Diese Beziehung kann als Verallgemeinerung der Identität cos²ϑ + sin²ϑ = 1 auf drei Dimensionen angesehen werden und heißt Unsöld-Theorem nach Albrecht Unsöld.

Zu den ersten Kugelflächenfunktionen gehören zum Beispiel

Y_00 = √(1/(4π)),

Y_10 = √(3/(4π)) cos ϑ,

Y_1,-1 = √(3/(8π)) sin ϑ e^(-iφ),

Y_11 = -√(3/(8π)) sin ϑ e^(iφ).

Für höhere l treten entsprechend Ausdrücke mit höheren Potenzen von sin ϑ, cos ϑ und Faktoren e^(i m φ) auf.

Anwendungen und geophysische Namen

In der Quantenmechanik sind Kugelflächenfunktionen wichtig, weil sie Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators und zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators sind. Für sie gilt:

L̂² Y_l,m(θ,φ) = ℏ² l(l+1) Y_l,m(θ,φ),

L̂_z Y_l,m(θ,φ) = ℏ m Y_l,m(θ,φ).

Deshalb spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen und bei Atomorbitalen.

Auch bei der Lösung der Laplace-Gleichung treten sie auf. Für jedes l ist r^l Y_lm(θ,φ) eine Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, weil R_l(r)=r^l die Radialgleichung erfüllt. Jede Lösung kann in der Form

Σ_l,m c_lm r^l Y_lm

dargestellt werden. Für Probleme außerhalb einer Kugel, bei denen die Lösung im Unendlichen verschwindet, kann man den Ansatz

Σ_l,m c_lm r^(-l-1) Y_lm

verwenden. Solche Darstellungen sind unter anderem für Dirichlet-Randbedingungen wichtig; das Dirichlet-Problem findet Anwendung in Elektrostatik und Magnetostatik.

In der Geophysik und Geodäsie werden Kugelflächenfunktionen zur Approximation des Geoids und des Magnetfeldes genutzt. Dort unterscheidet man drei Typen: zonal für m=0, also unabhängig vom Längengrad φ; sektoriell für m=l, also Schwingungen nur entlang des Längengrades φ; und tesseral in allen übrigen Fällen, also abhängig von Länge und Breite.