Konvexität (Finanzmathematik)

Begriff und Grundidee

Die Konvexität ist im Finanzwesen eine betriebswirtschaftliche Kennzahl für Anleihen. Sie gibt an, um wie viel sich die Duration ändert, wenn sich die Anleihenrendite verändert. Zugleich beschreibt sie die Krümmung des Zusammenhangs zwischen Rendite und Börsenkurs einer Anleihe.

Dieser Zusammenhang ist nichtlinear: Sinkt der Marktzins am Rentenmarkt, steigt der Börsenkurs einer Anleihe stärker, als er bei einem Anstieg der Marktzinsen fällt. Bei einer linearen Änderungsrate wäre die Konvexität Null. Die Duration unterstellt dagegen einen linearen Zusammenhang und nimmt an, dass ein Anstieg oder Rückgang des Zinsniveaus um beispielsweise einen Prozentpunkt gleich starke Auswirkungen hat. Tatsächlich bewegt sich der Börsenkurs entlang einer konvexen Kurve und nicht entlang einer Geraden.

Zusammenhang mit Rendite und Duration

Steigt der Börsenkurs einer Anleihe, sinkt ihre Rendite; fällt der Börsenkurs, steigt die Rendite. Deshalb hat ein Renditeanstieg von 4 % auf 5 % eine andere Auswirkung auf den Börsenkurs als ein Anstieg von 8 % auf 9 %. Der Verlauf des Barwerts einer Anleihe bei Zinsänderungen wird in der Finanzmathematik als konvex bezeichnet; das Substantiv dafür ist Konvexität.

Die Duration ist die erste Ableitung dieses Zusammenhangs und berücksichtigt die Steigung der Kurs-Rendite-Kurve. Sie eignet sich vor allem für kleine Zinsänderungen. Je größer die Zinsänderung ist, desto ungenauer wird die Schätzung durch die Duration allein. Die Konvexität berücksichtigt zusätzlich die zweite Ableitung und ermöglicht dadurch eine genauere Annäherung an die tatsächliche Wertveränderung.

Mathematisch ist die Konvexität die zweite Ableitung des Börsenkurses nach der Rendite, also seine Krümmung, dividiert durch den Börsenkurs. Standardanleihen besitzen stets eine positive Konvexität. Besteht ein Kündigungsrecht des Emittenten oder des Gläubigers, kann sich die Konvexität dagegen dramatisch verändern. Mit steigender Duration nimmt die Konvexität mit einer steigenden Rate zu: Verdoppelt sich beispielsweise die Duration, steigt die Konvexität mehr als auf das Doppelte. Je größer die Konvexität ist, desto geringer ist das Kursrisiko und umgekehrt.

Formeln und Berechnungsbeispiel

Die Konvexität wird formal berechnet als:

C = P₀(i₀)'' / P₀(i₀)

Dabei bezeichnet P₀ den Wert der Anleihe zum Zeitpunkt 0 und i₀ den entsprechenden Zinssatz.

Ist der Wert der Anleihe beispielsweise

P₀(i) = c · (1+i)⁻¹ + c · (1+i)⁻² + (c+N) · (1+i)⁻³,

wobei N den Nominalwert, c den Kupon und i den Zinssatz bezeichnet, lautet die erste Ableitung:

−c · (1+i)⁻² − 2c · (1+i)⁻³ − 3 · (c+N) · (1+i)⁻⁴.

Die zweite Ableitung lautet:

2c · (1+i)⁻³ + 6c · (1+i)⁻⁴ + 12 · (c+N) · (1+i)⁻⁵.

Die Veränderung des Barwertes einer Anleihe wird nach dem Prinzip der Konvexität angenähert durch:

dP/P = −D · dY + 1/2 · C · dY².

Dabei ist D die modifizierte Duration, P der Kurs der Anleihe einschließlich Stückzins (englisch: dirty price), dP die Veränderung dieses Kurses, dY die Zinsänderung und C die Konvexität (englisch: Convexity). Eine Zinsänderung von 50 Basispunkten wird beispielsweise als 0,005 eingesetzt; 100 Basispunkte entsprechen 1 %.

Bedeutung für Risiko und Anleiheauswahl

Sowohl Konvexität als auch Duration können positiv oder negativ ausfallen. Eine Standardanleihe ohne besondere Rechte für Emittenten oder Gläubiger besitzt stets eine positive Konvexität. Eine negative Konvexität entsteht, wenn dem Emittenten und/oder den Gläubigern ein Kündigungsrecht eingeräumt wird; dann handelt es sich nicht mehr um eine Standardanleihe.

Die Gerade stellt die Annäherung durch die Duration dar, während die konvexe Kurve die tatsächliche Kurs-Rendite-Beziehung genauer beschreibt. Die Abweichungen zwischen beiden zeigen die Approximationsfehler der Duration. Für die Bewältigung des Zinsrisikos muss analysiert werden, wie stark sich die Börsenkurse von Anleihen bei einer Veränderung des Zinsniveaus ändern. Die Zinssensitivität, also eine Form der Preissensitivität, wird durch die Duration bestimmt. Die Konvexität misst die Genauigkeit dieser Annäherung und beschreibt die Stärke der Volatilität der Zinssätze bei einer konkaven Krümmung der Zinskurve.

Duration und Konvexität sind lediglich Schätzungen der künftigen Änderung des Barwerts. Die Konvexität führt zu einer Risikoasymmetrie und dient als Auswahl- und Bewertungskriterium beim Vergleich von Anleihen. Zusammen mit der Duration erlaubt sie eine genauere Schätzung des Barwerts bei einer Zinsänderung.

Eine hohe Konvexität zeigt sich in einer stark gekrümmten Barwertfunktion. Dann fallen Kursverluste bei steigenden Marktzinsen deutlich geringer aus als die Kursgewinne bei sinkenden Zinsen. Haben mehrere Anleihen die gleiche Duration, sollten nach dem Artikel die Anleihen mit der höchsten Konvexität gekauft werden. Hoch konvexe Anleihen sind deshalb für Portfolios wie Fondsvermögen, Sicherungsvermögen, Sondervermögen oder umfangreiche Wertpapierdepots attraktiv, weil bei ihnen die Gewinnchance höher als das Kursrisiko ist.