Kegel (Topologie)

Grundidee und Definition

Ein Kegel über einem topologischen Raum X ist ein aus X konstruierter topologischer Raum CX. Er wird vor allem in der algebraischen Topologie betrachtet. Im euklidischen Fall ist er homöomorph, also topologisch gleichwertig, zu einem geometrischen Kegel; die Definition gilt aber auch für allgemeinere Räume.

Formal ist CX := (X × [0;1])/(X × {1}). Man beginnt mit dem Zylinder X × [0;1] und fasst alle Punkte der Deckfläche X × {1} zu einem einzigen Punkt zusammen. Dieser Faktorraum erhält die Quotiententopologie.

Quotiententopologie

Genauer wird auf X × [0;1] die Äquivalenzrelation x ∼ y ⇔ x = y oder x,y ∈ X × {1} definiert. CX ist die Menge der Äquivalenzklassen (X × [0;1])/∼. Die kanonische Projektion ist p: X × [0;1] → CX; x ↦ [x]∼.

Eine Teilmenge U ⊆ CX heißt genau dann offen, wenn ihr Urbild p⁻¹(U) offen in X × [0;1] ist. Diese offenen Mengen bilden die Topologie von CX.

Wichtige Eigenschaften

Jeder topologische Raum kann als Teilraum seines Kegels aufgefasst werden. Der Kegel eines nicht-leeren Raumes ist stets zusammenziehbar: Er lässt sich durch die Homotopie h_t([x;s]∼) = [(x;(1-t)s)]∼ kontinuierlich zu einem Punkt verformen. Dadurch gibt es eine kanonische Einbettung eines beliebigen nicht-leeren Raumes in einen zusammenziehbaren Raum. Dies begründet die Bedeutung von Kegeln in der algebraischen Topologie.

Jeder Kegel ist wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend. Außerdem ist CX homöomorph zum Abbildungskegel der Identität von X. Ist X ein CW-Komplex, dann ist auch CX ein CW-Komplex.

Lässt sich X in einen euklidischen Raum einbetten, dann ist CX homöomorph zu einem geometrischen Kegel. Ist X kompakt und Hausdorffsch, entspricht sein Kegel der Vereinigung aller Strecken von Punkten x ∈ X zu einer gemeinsamen Spitze.

Typische Beispiele

Der Kegel über einem n-Simplex ist ein (n+1)-Simplex. Insbesondere ist für einen Punkt x ∈ ℝⁿ der Raum C{x} eine Strecke, C(C{x}) ein Dreieck und C(C(C{x})) ein Tetraeder.

Der Kegel über einem Polygon P ist eine Pyramide mit Grundfläche P. Der Kegel über einem ausgefüllten Kreis ist der klassische Kreiskegel. Dagegen ist der Kegel über einer Kreislinie die Mantelfläche eines Kreiskegels; sie ist topologisch äquivalent zum Vollkreis, wenn man die Spitze anschaulich eindrückt.

Allgemein gilt die Homöomorphie CSⁿ⁻¹ ≅ Dⁿ.

Reduzierter Kegel und Kegelfunktor

Für einen punktierten Raum (X;x₀) ist der reduzierte Kegel definiert durch C_*X = X × [0,1]/((X × {0}) ∪ ({x₀} × [0,1])) mit der Quotiententopologie. Dabei werden X × {0} und die ganze Strecke {x₀} × [0,1] identifiziert. Mit [(x₀;0)]∼ als Basispunkt ist C_*X wieder ein punktierter Raum; die Einbettung x ↦ [(x;1)]∼ erhält den Basispunkt. Der reduzierte Kegel ist der reduzierte Abbildungskegel der Identität.

Kategorientheoretisch definiert X ↦ CX einen Endofunktor C: Top → Top. Einer stetigen Abbildung f: X → Y wird die stetige Abbildung C(f): CX → CY zugeordnet, die durch [(x;t)]∼CX ↦ [(f(x);t)]∼CY gegeben ist. Entsprechend gilt X ↦ C_X in der Kategorie Top der punktierten Räume. Die Notation C darf nicht mit dem Abbildungskegel Cf einer Abbildung f oder mit dem Funktionenraum 𝒞(X) verwechselt werden.