Geschichte der Analysis

Gegenstand und frühe Grundlagen

Die Analysis ist eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Sie untersucht insbesondere Grenzwerte, Änderungsraten, Ableitungen, Integrale und unendliche Reihen. Anschaulich wurde sie lange als „Rechnung mit dem unendlich Großen und unendlich Kleinen“ verstanden. Ihre Methoden sind grundlegend für die Beschreibung physikalischer Prozesse und für zahlreiche angewandte Wissenschaften.

Vorläufer entstanden bereits in der Antike. Antiphon und Eudoxos von Knidos näherten im 4. Jahrhundert v. Chr. krummlinige Flächen durch geradlinige Figuren an. Bei der Exhaustionsmethode wird beispielsweise ein Kreis durch einbeschriebene Vielecke immer genauer „ausgeschöpft“. Archimedes nutzte dieses Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl und zur Quadratur der Parabel. Für eine Kugel und einen Kreiszylinder, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht, zeigte er

O_Kreiszylinder/O_Kugel = V_Kreiszylinder/V_Kugel = 3/2.

Früh entstanden zugleich philosophische Probleme. Zenons Paradoxa – etwa „Achilles und die Schildkröte“ – stellten infrage, wie Bewegung möglich ist, wenn eine Strecke in beliebig viele Teile zerlegt werden kann. Aristoteles unterschied potenzielle Unendlichkeit, also einen unbegrenzt fortsetzbaren Vorgang, von aktualer Unendlichkeit, einer als vollständig gegeben gedachten unendlichen Gesamtheit. Aktual unendlich kleine Größen lehnte er ab. Auch Avicenna, al-Ghazali und Roger Bacon formulierten Argumente gegen aktuale Unendlichkeit oder gegen einen aus unteilbaren Atomen bestehenden Raum.

Nach Archimedes kam die Entwicklung in Europa zunächst weitgehend zum Stillstand. In China verwendeten Liu Hui und Zu Chongzhi weiterhin Methoden, die der Exhaustion und dem späteren Prinzip von Cavalieri ähnelten. In Indien kannte Bhaskara II. offenbar Aussagen, die dem Satz von Rolle und dem Mittelwertsatz nahekommen; Madhava kannte Reihendarstellungen für Sinus und Kosinus.

Vom Mittelalter zu Tangenten und Flächen

Im 14. Jahrhundert erzielte Nikolaus von Oresme zwei wichtige Ergebnisse. Die „Merton Rule“ besagt: Beschleunigt ein Körper gleichförmig von v₀ auf v_f, so legt er in derselben Zeit dieselbe Strecke zurück wie ein Körper mit der konstanten Geschwindigkeit (v₀+v_f)/2. In heutiger Sprache ist dies ein Spezialfall des Mittelwertsatzes beziehungsweise der Trapezregel. Oresme zeigte außerdem, dass

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2,

während die harmonische Reihe

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

divergiert, also über jede Grenze wächst.

Im 17. Jahrhundert rückten Flächen-, Volumen-, Extremwert- und Tangentenprobleme in den Mittelpunkt. Bonaventura Cavalieri zerlegte Figuren gedanklich in unendlich kleine Scheiben, seine „Indivisiblen“. Nach dem 1635 veröffentlichten Prinzip von Cavalieri ändert eine Verschiebung solcher gleich großer Scheiben das Gesamtvolumen nicht. Evangelista Torricelli verband diese Idee mit der Exhaustionsmethode und untersuchte den Rotationskörper zu y=1/x: Er besitzt ein endliches Volumen, aber eine unendliche Mantelfläche.

Pierre de Fermat bestimmte 1636 Tangenten durch den Vergleich von f(x) und f(x+h) für sehr kleines h. Für f(x)=x³ erhielt er auf diese Weise die Steigung 3x². René Descartes schlug 1637 vor, an eine Kurve einen berührenden Krümmungskreis zu konstruieren; dessen Radius liefert die Normale und damit die Tangente. Diese Methode war einflussreich, aber rechenintensiv. Blaise Pascal und Isaac Barrow entwickelten Tangentenmethoden weiter. Barrow erkannte bereits den Zusammenhang zwischen Tangentenbestimmung und Flächenberechnung, der später im Fundamentalsatz der Analysis präzisiert wurde: Differentiation und Integration sind in einem bestimmten Sinn Umkehroperationen.

Entstehung der Infinitesimalrechnung

Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz vereinigten in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts Differential- und Integralrechnung zu einem einheitlichen Kalkül. Die Differentialrechnung bestimmt lokale Änderungsraten und Tangentensteigungen; die Integralrechnung bestimmt unter anderem Flächen und summierte Größen.

Newton entwickelte in den 1660er Jahren seine Fluxionenmethode. Veränderliche Größen hießen bei ihm Fluenten, ihre Geschwindigkeiten Fluxionen. Die Schreibweise ẋ für eine Zeitableitung ist bis heute in der Physik gebräuchlich. Eine Kurve beschrieb er durch F(x,y)=0; ihre Tangentensteigung war ẏ/ẋ. Für die Parabel y−x²=0 setzte er infinitesimale Änderungen x+oẋ und y+oẏ ein. Nach Ausmultiplizieren, Division durch o und Vernachlässigung der verbleibenden Terme mit o erhielt er ẏ−2xẋ=0 und damit ẏ/ẋ=2x. Integration verstand Newton vor allem als Umkehrung der Ableitung und als Werkzeug zur Lösung physikalischer Differentialgleichungen. Er entwickelte außerdem die binomische Reihe und das Newtonverfahren zur Näherung von Lösungen nichtlinearer Gleichungen.

Leibniz ging von einem immer kleiner werdenden charakteristischen Dreieck an einer Kurve aus. Dessen Seiten nannte er Differentiale. Seine 1684 veröffentlichte Methode prägt die heutige Notation. Für f(x)=x² ergibt der Differenzenquotient

(f(x+dx)−f(x))/dx = ((x+dx)²−x²)/dx = 2x+dx.

Wird das infinitesimale dx vernachlässigt, bleibt f′(x)=2x. Von Leibniz stammt auch die Integralnotation

∫ₐᵇ f(x) dx.

Das langgezogene S steht für lateinisch summa; geometrisch wird die Fläche als Summe schmaler Rechtecke der Breite dx und Höhe f(x) verstanden. Leibniz formulierte außerdem Regeln wie die Produktregel d(xy)=x dy+y dx.

Beide Methoden enthielten jedoch ein logisches Problem: Infinitesimalgrößen wurden zunächst als von null verschieden behandelt, sodass durch sie dividiert werden konnte, anschließend aber wie null vernachlässigt. George Berkeley kritisierte sie 1734 als „Geister verstorbener Größen“. Im Prioritätenstreit warfen sich die Anhänger Newtons und Leibniz’ gegenseitig Plagiat vor. Eine Kommission der Royal Society entschied 1713 zugunsten Newtons; ihr Abschlussbericht stammte von Newton selbst. Heute gelten beide als unabhängige Begründer, wobei sich Leibniz’ Notation weitgehend durchsetzte.

Ausbau im 17. und 18. Jahrhundert

Die theoretische Analysis wurde besonders in Kontinentaleuropa durch die Familie Bernoulli und Leonhard Euler ausgebaut. Johann I Bernoulli definierte eine Funktion einer Variablen als „eine Größe, die in irgendeiner Weise aus dieser Größe und Konstanten zusammengesetzt ist“. Jakob I Bernoulli untersuchte beim Brachistochronenproblem nicht nur Extremwerte von Zahlen, sondern optimale Funktionen; daraus entwickelte sich die Variationsrechnung. Leonhard Eulers Introductio in analysin infinitorum von 1748 prägte Begriffe und Notationen des Fachs nachhaltig. Ebenfalls 1748 veröffentlichte Maria Gaetana Agnesi mit den Instituzioni analitiche eine frühe vollständige Darstellung der Differential- und Integralrechnung.

Unendliche Reihen und Produkte lieferten wichtige Resultate. John Wallis fand 1656

π/2 = (2²/(1·3))·(4²/(3·5))·(6²/(5·7))·…

und führte das Zeichen ∞ ein. Euler löste das Basler Problem:

1/1² + 1/2² + 1/3² + … = π²/6.

Leibniz’ Reihe lautet

1−1/3+1/5−1/7+… = π/4.

Nicolaus Mercator veröffentlichte 1668 die für Logarithmentafeln nützliche Entwicklung

ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−x⁴/4±… .

Brook Taylors Formel von 1712 stellt geeignete Funktionen durch Ableitungen dar:

f(x)=Σₙ₌₀∞ f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n!.

Joseph-Louis Lagrange wollte 1797 die Ableitung über solche Potenzreihen definieren. Seine Behauptung, jede Funktion lasse sich so darstellen, gilt jedoch nur für analytische Funktionen. Unkritischer Umgang mit divergenten Reihen erzeugte scheinbar paradoxe Ergebnisse, etwa die Grandi-Reihe 1−1+1−1+…=1/2 oder Eulers Zuordnung 1−2+3−4+…=1/4. Eine strenge Erklärung solcher Verfahren fehlte damals.

Strenge und neue Gebiete im 19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert erhielt die Analysis eine präzise Grundlage. Fourier behauptete 1822 bei der Untersuchung der Wärmeleitung, periodische Funktionen ließen sich durch Reihen aus Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen. Die Diskussion darüber machte unklare Begriffe wie Funktion und Konvergenz sichtbar. Später unterschied man insbesondere punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Fouriers Behauptung gilt nicht uneingeschränkt. Der Satz von Carleson und Hunt von 1966 zeigt aber, dass die Fourier-Reihe einer quadratintegrierbaren Funktion fast überall punktweise konvergiert; „fast überall“ bedeutet maßtheoretisch, dass die Ausnahmestellen vernachlässigbar sind.

Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ersetzten unsichere Infinitesimalargumente durch Grenzwerte und Fehlerschranken. Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen a genau dann, wenn für alle ε>0 eine natürliche Zahl N existiert, sodass |aₙ−a|<ε für alle n≥N gilt. Diese als „Epsilontik“ bezeichnete Methode verwendet nur potenzielle Unendlichkeit: Man setzt kein „unendlich großes“ n ein, sondern fordert, dass jede vorgegebene Fehlerschranke ab einem bestimmten Index eingehalten wird. Cauchys Cours d’Analyse erschien 1821. Riemann definierte das Riemann-Integral, und Weierstraß präzisierte die reellen Zahlen. 1886 veröffentlichte Weierstraß zudem eine Funktion, die überall stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Damit wurde deutlich, dass Stetigkeit und Differenzierbarkeit verschiedene Eigenschaften sind.

Parallel entstanden neue Teilgebiete. In der komplexen Analysis bewies Cauchy 1837: Ist f:G→ℂ auf einem Gebiet G holomorph, also überall komplex differenzierbar, dann besitzt f um jeden Punkt z₀∈G eine Potenzreihenentwicklung

f(z)=Σₙ₌₀∞ aₙ(z−z₀)ⁿ.

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen charakterisieren die komplexe Differenzierbarkeit über die reellen Bestandteile u und v. Riemann verband 1859 mit seiner Zetafunktion Funktionentheorie und Primzahltheorie und formulierte die bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung.

Die mehrdimensionale Analysis entwickelte sich durch Hermann Graßmanns Vektoranalysis und die Differentialgeometrie. Riemann führte 1854 den Begriff der Mannigfaltigkeit ein: einen Raum, der lokal wie ein euklidischer Raum aussieht. Der allgemeine Satz von Stokes umfasst als Spezialfälle unter anderem den Fundamentalsatz der Analysis, den Gaußschen Integralsatz und den Satz von Green. Diese Geometrie wurde später für Einsteins Relativitätstheorie wichtig.

Entwicklungen seit dem 20. Jahrhundert

Henri Léon Lebesgue verallgemeinerte 1902 mit dem Lebesgue-Integral das Riemann-Integral und begründete damit die Maßtheorie. Ein Maß ordnet Mengen eine nichtnegative Größe zu. Das allgemeine Maßproblem, jeder Teilmenge von ℝⁿ widerspruchsfrei einen Wert zuzuweisen, wurde 1905 durch Giuseppe Vitalis Konstruktion einer nicht messbaren Menge negativ beantwortet, sofern das Auswahlaxiom verwendet wird. Für geeignete Mengensysteme, insbesondere Borelsche σ-Algebren, existieren dagegen Maße. Das Auswahlaxiom ermöglicht auch das Banach-Tarski-Paradoxon: Eine Kugel kann in endlich viele Teilstücke zerlegt und zu zwei Kugeln desselben Volumens zusammengesetzt werden. Robert Solovay zeigte 1970, dass ohne Auswahlaxiom die Aussage „Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist lebesgue-messbar“ mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre konsistent ist. Maßtheorie wurde außerdem zur Grundlage von Andrei Kolmogorows Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie von 1933.

Die Funktionalanalysis untersucht Funktionen mit Methoden, die an Geometrie und lineare Algebra erinnern, und entstand besonders aus Differentialgleichungen und Funktionalen. Bedeutend war die Lemberger Mathematikerschule von 1918 bis 1939 um Stefan Banach. Ihre im „Schottischen Buch“ gesammelten Probleme beeinflussten die Entwicklung des Gebiets.

Abraham Robinson begründete mit Nonstandard Analysis von 1966 die Nichtstandardanalysis. Sie erweitert die reellen zu hyperreellen Zahlen und erlaubt eine logisch präzise Rechnung mit Infinitesimalzahlen. Sie liefert keine anderen Resultate als die Standardanalysis, kann manche Beweise aber näher an der historischen Intuition formulieren. Ihre Verbreitung blieb begrenzt, unter anderem weil ihre Grundlagen Prädikatenlogik erster Stufe erfordern.

Grundfragen des Kontinuums bleiben offen oder von den gewählten Axiomen abhängig. Cantors Kontinuumshypothese von 1878 ist in der üblichen Mengenlehre nicht entscheidbar. Intuitionistische und konstruktivistische Ansätze lassen nur konstruierbare mathematische Objekte zu und verzichten häufig auf den Satz vom ausgeschlossenen Dritten oder das Auswahlaxiom; dadurch müssen Sätze der Analysis verändert oder anders bewiesen werden. Für die alltägliche Anwendung spielen diese Grundlagenfragen meist keine zentrale Rolle, zeigen aber, dass die mathematische Beschreibung des Kontinuums weiterhin nicht alternativlos ist.