Vorzeichenregel von Descartes

Kernaussage und Anwendung

Die Vorzeichenregel von Descartes bestimmt die maximale Anzahl positiver und negativer Nullstellen eines reellen Polynoms. Dabei werden Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Für die positiven Nullstellen betrachtet man die Folge der Koeffizienten in der gegebenen Polynomdarstellung. Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese. Die tatsächliche Anzahl kann also beispielsweise um 2, 4 oder weitere gerade Zahlen niedriger sein.

Eine wichtige Folgerung lautet: Hat ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel, dann besitzt es genau eine einfache positive Nullstelle.

Positive Nullstellen

Gegeben sei

f(x) = 5x⁷ + 6x⁶ − 9x⁴ − 4x³ − 11x² + 7x − 3.

Die Vorzeichen der Koeffizienten wechseln dreimal. Deshalb hat f(x) entweder drei positive Nullstellen oder eine positive Nullstelle. Tatsächlich besitzt das Polynom genau eine positive Nullstelle.

Negative Nullstellen

Für die maximale Anzahl negativer Nullstellen wendet man die Vorzeichenregel auf f(−x) an. Dazu werden bei ungeraden Exponenten die Vorzeichen der Koeffizienten geändert; bei geraden Exponenten bleiben sie unverändert.

Für das Beispiel ergibt sich:

f(−x) = −5x⁷ + 6x⁶ − 9x⁴ + 4x³ − 11x² − 7x − 3.

In der Koeffizientenfolge von f(−x) gibt es vier Vorzeichenwechsel. Daher besitzt f(x) entweder vier, zwei oder keine negativen Nullstellen. Tatsächlich hat f(x) keine negative Nullstelle.