Integralgleichung

Grundidee und Bedeutung

Eine Integralgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Funktion unter einem Integral vorkommt. Solche Gleichungen werden in Mathematik, Naturwissenschaft und Technik verwendet, um verschiedene Phänomene zu beschreiben. Das mathematische Teilgebiet, das die Theorie der Integralgleichungen behandelt, ist die Funktionalanalysis.

Integralgleichungen hängen eng mit anderen Gebieten zusammen. Integraloperatoren treten oft bei der Lösung von Differentialgleichungen auf, zum Beispiel bei Sturm-Liouville-Problemen oder bei partiellen Differentialgleichungen mithilfe der Greenschen Funktion. Historisch wurden Integralgleichungen Anfang des 20. Jahrhunderts auch als kontinuierlicher Grenzübergang von Eigenwertgleichungen der linearen Algebra verstanden: Eigenvektoren werden dabei zu Eigenfunktionen, und eine Matrix wird durch eine Kernfunktion ersetzt.

Lineare und nichtlineare Form

Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion u. Für x ∈ Ω hat sie die Form

λ(x)u(x) + ∫_Ω k(x,y)u(y) dy = f(x),

wobei λ, f und k gegebene Funktionen sind und Ω ⊆ ℝⁿ kompakt ist. Die Funktion k heißt Kern. „Linear“ bedeutet hier, dass die gesuchte Funktion u nur in linearer Weise vorkommt, also nicht zum Beispiel quadriert oder in eine nichtlineare Funktion eingesetzt wird.

Eine nichtlineare Integralgleichung hat die Gestalt

∫_Ω K(y,x,u(y)) dy = f(x),

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und einem geeigneten Integrationsbereich Ω ⊂ ℝⁿ. Nichtlinear ist diese Gleichung, weil die gesuchte Funktion u(y) nichtlinear in die Kernfunktion eingeht.

Einteilung linearer Gleichungen

Lineare Integralgleichungen werden nach der Funktion λ(x) in drei Arten eingeteilt:

• Integralgleichungen 1. Art: λ(x) ≡ 0.
• Integralgleichungen 2. Art: λ(x) ≡ λ ∈ ℂ \ {0}.
• Integralgleichungen 3. Art: alle anderen Fälle von λ.

Bei Integralgleichungen 1. Art tritt die gesuchte Funktion u(x) nur im Integral auf. Bei Integralgleichungen 2. Art tritt sie auch außerhalb des Integrals auf. Diese Einteilung wirkt zunächst willkürlich, ist aber wegen der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften wichtig. Integralgleichungen 2. Art sind unter schwachen Voraussetzungen an den Kern für fast alle Werte von λ eindeutig lösbar, und die Lösung hängt stetig von f ab. Für Integralgleichungen 1. Art gilt das unter denselben Voraussetzungen im Allgemeinen nicht. Sie sind, wie zum Beispiel die Laplace-Transformation, fast immer inkorrekt gestellte Probleme. Eine der wenigen Ausnahmen ist die Fourier-Transformation. Auch Integralgleichungen 3. Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme.

Wenn die bekannte Funktion f ≡ 0 ist, heißt die Gleichung homogen. Ist f nicht identisch null, heißt sie inhomogen. Bei homogenen linearen Gleichungen gilt: Wenn u(x) eine Lösung ist, dann ist auch α · u(x) eine Lösung.

Eine weitere Klassifikation richtet sich nach den Integrationsgrenzen. Sind alle Grenzen konstant, spricht man von Fredholm-Integralgleichungen. Ist eine Grenze variabel, spricht man von Volterra-Integralgleichungen. Außerdem kann man Integralgleichungen nach Eigenschaften des Kerns einteilen, zum Beispiel in schwach singuläre und stark singuläre Integralgleichungen.

Typische Beispiele

Wichtige Beispiele sind Fredholm- und Volterra-Integralgleichungen. Bei Fredholm-Gleichungen sind die Integrationsgrenzen konstant, etwa a und b. Eine lineare Fredholmsche Integralgleichung 1. Art im inhomogenen Fall lautet:

∫_a^b k(s,t)u(t) dt = f(s).

Eine lineare Fredholmsche Integralgleichung 2. Art im inhomogenen Fall lautet:

λ · ∫_a^b k(s,t)u(t) dt + f(s) = u(s).

Dabei spielt der Parameter λ eine ähnliche Rolle wie ein Eigenwert in der linearen Algebra. Im homogenen Fall kann eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art zum Beispiel so aussehen:

∫_a^b k(s,t)u(t) dt = u(s).

Bei Volterra-Gleichungen ist eine Integrationsgrenze variabel. Eine lineare Volterrasche Integralgleichung 1. Art im inhomogenen Fall lautet:

∫_a^s k(s,t)u(t) dt = f(s).

Eine lineare Volterrasche Integralgleichung 2. Art im inhomogenen Fall lautet:

λ · ∫_a^s k(s,t)u(t) dt + f(s) = u(s).

Eine nichtlineare Volterrasche Integralgleichung 2. Art im inhomogenen Fall ist:

λ · ∫_a^s k(s,t)F(s,t,u(t)) dt + f(s) = u(s),

wobei F(s,t,u(t)) eine vorgegebene nichtlineare Funktion ist.

Operatorische Sicht

Integralgleichungen können mithilfe von Operatoren betrachtet werden. Für einen hinreichend integrierbaren Kern k(x,y) definiert man den linearen Operator K durch

(Ku)(x) = ∫_Ω k(x,y)u(y) dy.

Ein Operator ist hier eine Vorschrift, die einer Funktion eine neue Funktion zuordnet. Für die Theorie der nicht stark singulären Integralgleichungen ist besonders die Theorie der kompakten Operatoren wichtig. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der Theorie linearer Gleichungen in endlichdimensionalen Räumen.

Kompakte Operatoren haben im Wesentlichen reine Eigenwertspektren. Genauer: Das Spektrum besteht, eventuell von der Null abgesehen, nur aus Eigenwerten. Diese Eigenwerte häufen sich höchstens in einem Punkt, nämlich der Null. Alle Eigenräume, eventuell mit Ausnahme des Eigenraums zur Null, sind endlichdimensional.

Erweiterungen und Spezialfälle

Eine Integro-Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl die Ableitung der gesuchten Funktion als auch ein Integral vorkommt, in dessen Integrand diese Funktion auftritt. Solche Gleichungen können linear oder nichtlinear sein. Treten nur gewöhnliche Ableitungen auf, spricht man von einer gewöhnlichen Integro-Differentialgleichung. Treten partielle Ableitungen auf, spricht man von einer partiellen Integro-Differentialgleichung. Ein Beispiel ist die Boltzmann-Gleichung aus der kinetischen Gastheorie.

Ein spezieller Typ ist die Wiener-Hopf-Gleichung. Sie ist auf der positiven reellen Halbachse definiert, und ihr Kern k(x) hängt von der Differenz der Argumente ab:

λ · u(x) + ∫_0^∞ k(x-s)u(s) ds = f(x),

für 0 ≤ x < ∞. Dabei ist f(x) eine vorgegebene Funktion, u(x) die gesuchte Funktion und λ ein Parameter. Bei der homogenen Gleichung gilt f(x) = 0. Der Kern ist translationsinvariant. Wesentlich ist, dass ein Rand im Unendlichen und ein Rand im Endlichen liegt.

Die Wiener-Hopf-Gleichung ist nach Eberhard Hopf und Norbert Wiener benannt. Sie entwickelten die Wiener-Hopf-Methode, auch Faktorisierungsmethode genannt. Diese Methode dient zur Lösung bestimmter Integralgleichungen und bestimmter Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen, zum Beispiel der Wellengleichung oder Laplacegleichung in Optik oder Elektromagnetismus. Typisch sind Ränder, die sich ins Unendliche erstrecken, etwa bei einer Halbebene. Dabei betrachtet man Fouriertransformationen, teilweise auch Laplacetransformationen oder Mellintransformationen, und nutzt komplex-analytische Eigenschaften. Die Funktion und ihre Transformierte werden in zwei Teile Φ_± zerlegt, die in der oberen beziehungsweise unteren komplexen Halbebene analytisch sind und einen Abschnitt der reellen Achse gemeinsam haben.