Generalisierter Impuls

Begriff und Definition

Der generalisierte Impuls heißt auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter oder konjugierter Impuls. Er kommt in der Lagrange- und Hamiltonschen Mechanik vor. Zusammen mit dem konjugierten Ort beschreibt er den Zustand eines Systems; dieser verändert sich mit der Zeit nach den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.

Für die Koordinaten q und Geschwindigkeiten \dot q wird die Lagrange-Funktion L verwendet. Der zu q_j gehörende generalisierte Impuls ist die partielle Ableitung von L nach der zugehörigen Geschwindigkeit:

p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot q_j},\quad j=1\ldots n.

In der Quantenmechanik wird der kanonische Impuls, im Unterschied zum kinetischen Impuls, durch den Impulsoperator ersetzt:

p_j\rightarrow \hat p_j=-\hbar i\frac{\partial}{\partial x_j}.

Klassische Bewegung

Für ein Teilchen der Masse m, das sich ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten in einem Potential V(\mathbf{x},t) bewegt, gilt

L=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}^2-V(\mathbf{x},t).

Der generalisierte Impuls ist dann gleich dem kinetischen Impuls:

\mathbf{p}=m\dot{\mathbf{x}}.

In Zylinderkoordinaten (r,\varphi,z) lautet die Lagrange-Funktion

L=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2+\dot z^2)-V(r,\varphi,z,t).

Der zu dem Winkel \varphi konjugierte Impuls ist die Komponente des Drehimpulses entlang der Zylinderachse:

p_{\dot\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}=mr^2\dot\varphi.

Bei einer Punktladung q der Masse m in einem elektromagnetischen Feld lautet die Lagrange-Funktion

L=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}^2-q\phi(t,\mathbf{x})+q\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}(t,\mathbf{x}).

Dabei ist \phi das elektrische Potential und \mathbf{A} das Vektorpotential. Der generalisierte Impuls enthält zusätzlich zum kinetischen Impuls den Beitrag des Vektorpotentials:

\mathbf{p}=m\dot{\mathbf{x}}+q\mathbf{A}(t,\mathbf{x}).

Relativistische Bewegung

Für ein relativistisch bewegtes Teilchen der Ruhemasse m_0 in einem Potential V(\mathbf{x},t), ohne Zwangsbedingungen und in kartesischen Koordinaten, gilt

L=-m_0c^2\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}-V(\mathbf{x},t).

Der generalisierte Impuls stimmt hierbei mit dem kinetischen Impuls überein:

\mathbf{p}=\frac{m_0\dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}}.

Für eine relativistisch bewegte Punktladung q der Masse m_0 im elektromagnetischen Feld kommt in der Lagrange-Funktion zusätzlich -q\phi(t,\mathbf{x})+q\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}(t,\mathbf{x}) vor. Dann besteht der generalisierte Impuls aus dem relativistischen kinetischen Impuls und dem Beitrag des Vektorpotentials:

\mathbf{p}=\frac{m_0\dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}}+q\mathbf{A}(\mathbf{x},t).