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Hypozykloide
... Krümmungsverhalten ist also einheitlich. Im Grenzfall d = r B {\displaystyle d=r_{B}} {\displaystyle d=r_{B}} hat die Hypotrochoide i R {\displaystyle i_{R}} …
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Grundidee und Entstehung
Eine Hypozykloide ist eine Rollkurve. Sie entsteht, wenn ein kleinerer Kreis mit Radius R auf der Innenseite eines festen größeren Kreises mit Radius R? genauer: Der feste Kreis heißt Rastkreis und hat den Radius R, der rollende Kreis heißt Gangkreis und hat den Radius r. Der Gangkreis rollt ohne zu gleiten an der Innenseite des Rastkreises. Ein Punkt, der auf dem Umfang des Gangkreises mitrotiert, beschreibt dabei die Hypozykloide.
Die Hypozykloide ist das Gegenstück zur Epizykloide, bei der ein Kreis außen an einem Kreis abrollt. Sie ist außerdem ein Spezialfall der Hypotrochoide: Bei einer Hypotrochoide muss der erzeugende Punkt nicht auf dem Umfang des rollenden Kreises liegen, sondern kann in einem beliebigen Abstand d>0 vom Mittelpunkt des bewegten Kreises liegen.
In einem festen Kreis mit Radius R können zwei verschiedene rollende Kreise dieselbe Form erzeugen: Ein Kreis mit Radius r und ein Kreis mit Radius R-r erzeugen beim Abrollen auf der Innenseite kongruente, also deckungsgleiche, Hypozykloiden. Diese Eigenschaft heißt doppelte Erzeugung.
Geschlossenheit, Spitzen und Umläufe
Eine Hypozykloide ist genau dann eine geschlossene Kurve, wenn das Verhältnis q=R/r der Radien rational ist. Das bedeutet: q kann als gekürzter Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden,
R/r = i_R/i_r mit ggT(i_R,i_r)=1.
Dabei ist ggT der größte gemeinsame Teiler. i_R gehört zum Radius des festen Kreises, i_r zum Radius des umlaufenden Kreises. Im Artikel wird im Folgenden immer vorausgesetzt, dass q rational ist.
Für eine geschlossene Hypozykloide gilt: Die Anzahl der Spitzen ist i_R. Die Anzahl der Umläufe des bewegten Kreises während einer Periode ist i_r. Eine Periode ist hier der Abschnitt, nach dem die Kurve wieder in die Ausgangslage zurückkehrt.
Bei technischen Umsetzungen mit Zahnrädern ist statt der Radien die Anzahl der Zähne entscheidend. Dadurch ergeben sich dort stets geschlossene Kurven.
Parametergleichung und einfache Formeln
Wenn der Mittelpunkt des festen Kreises im Ursprung des Koordinatensystems liegt und der erzeugende Punkt bei (R,0) startet, lässt sich ein Punkt P der Hypozykloide mit dem Parameter α beschreiben. α ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Strecke vom Ursprung zum Mittelpunkt des bewegten Kreises.
Die kartesischen Koordinaten lauten:
x=(R-r) cos α + r cos((R/r-1)α),
y=(R-r) sin α - r sin((R/r-1)α).
Mit der Abkürzung m=R/r-1 lassen sich die Gleichungen kürzer schreiben:
x=mr cos α + r cos(mα),
y=mr sin α - r sin(mα).
Die Gleichungen können aus der Parameterdarstellung der Epizykloide gewonnen werden, indem man den Radius r des bewegten Kreises durch -r ersetzt.
Für ganzzahliges q beträgt die Gesamtlänge der Hypozykloide 8(R-r). Außerdem gibt es für die Zahl der Schnittpunkte eine Fallunterscheidung. Ist q=R/r=i_R/i_r>2, also i_R>2i_r oder r<R/2, dann ist die Zahl der Schnittpunkte i_R(i_r-1). Hat die Kurve nur einen Umlauf (i_r=1), gibt es keine Schnittpunkte. Für i_R=2i_r ist die Zahl der Schnittpunkte 0. Für i_R<2i_r gilt wegen der doppelten Erzeugung die entsprechende Formel i_R(i_R-i_r-1). Insgesamt:
n = i_R(i_r-1), falls i_R>2i_r;
n = 0, falls i_R=2i_r;
n = i_R(i_R-i_r-1), falls i_R<2i_r.
Besondere Hypozykloiden
Für ganzzahlige Werte von q entstehen bekannte Sonderformen.
Bei q=2 entstehen die Cardanischen Kreise. Die Hypozykloide ist dann geradlinig: Alle Punkte der Kurve liegen auf einem Durchmesser des festen Kreises.
Bei q=3 entsteht eine Deltoide. Das ist eine Hypozykloide mit 3 Spitzen.
Bei q=4 entsteht eine Astroide. Das ist eine Hypozykloide mit 4 Spitzen. Der Artikel vergleicht ihre Form mit dem Karo, wie man es von Spielkarten kennt.
Hypotrochoiden als Verallgemeinerung
Die Hypotrochoide verallgemeinert die Hypozykloide. Auch hier rollt ein kleinerer Kreis mit Radius r auf der Innenseite eines größeren Kreises mit Radius R. Der erzeugende Punkt liegt aber nicht unbedingt auf dem Umfang des rollenden Kreises. Sein Abstand vom Mittelpunkt des bewegten Kreises ist d>0.
Es werden drei Typen unterschieden: Bei d<r spricht man von einer verkürzten Hypozykloide. Bei d>r spricht man von einer verlängerten Hypozykloide. Bei d=r liegt die eigentliche Hypozykloide vor; sie wird auch gespitzte Hypozykloide genannt.
Die Begriffe „gestreckte Hypozykloide“ und „verschlungene Hypozykloide“ werden als problematisch beschrieben, weil sie eine zusätzliche Fallunterscheidung erfordern. Schleifen können nämlich sowohl bei Hypotrochoiden mit d>r und q>2 als auch bei Hypotrochoiden mit d<r und q<2 auftreten.
Die Parameterdarstellung der Hypotrochoide erhält man aus derjenigen der Hypozykloide, indem der Faktor r beim erzeugenden Punkt durch d ersetzt wird:
x=(R-r) cos α + d cos((R/r-1)α),
y=(R-r) sin α - d sin((R/r-1)α).
Mit m=R/r-1 lautet sie:
x=mr cos α + d cos(mα),
y=mr sin α - d sin(mα).
Krümmung, Übergänge und Sonderfall q=2
Für die genauere Beschreibung von Hypotrochoiden sind der Ball’sche Kreis und die Übergangskreise wichtig. Der Ball’sche Kreis ist ein Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Kreises mit dem Radius
r_B = r/m = r/(q-1) = r/(i_R/i_r - 1) = r/(R/r - 1) = r²/(R-r).
Er beeinflusst das Krümmungsverhalten. Für q>2 liegt der Ball’sche Kreis innerhalb des umlaufenden Kreises, für q<2 außerhalb. Übergangskreise sind konzentrische Kreise um den Mittelpunkt des bewegten Kreises. Liegt der erzeugende Punkt auf einem solchen Kreis, besitzt die Hypotrochoide Berührungspunkte. Beim Verschieben des erzeugenden Punktes über einen Übergangskreis ändert sich die Zahl der Schnittpunkte, also der Doppelpunkte. Die Radien der Übergangskreise lassen sich im Allgemeinen nicht analytisch berechnen. Ihre Anzahl ist
n_b = ⌊ |2i_r-i_R| / 2 ⌋.
Die Gaußklammer ⌊...⌋ bedeutet Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl.
Die minimale Zahl der Schnittpunkte einer Hypotrochoide stimmt mit der entsprechenden Hypozykloide überein:
n_min = i_R(i_r-1), falls i_R>2i_r;
n_min = 0, falls i_R=2i_r;
n_min = i_R(i_R-i_r-1), falls i_R<2i_r.
Daraus ergibt sich mit n_b die maximale Zahl der Schnittpunkte:
n_max = n_min + (2n_b+1)i_R, falls i_R ungerade ist;
n_max = n_min + 2n_b i_R, falls i_R gerade ist.
Bei verkürzten Hypozykloiden (d<r) gilt: Für q>2 gibt es keine Schleifen. Liegt d zwischen Ball’schem Kreis und umlaufendem Kreis (r_B<d<r), hat die Kurve 2i_R Wendepunkte; bei d≤r_B gibt es keine Wendepunkte. Für q<2 hat die Kurve i_R Schleifen und keine Wendepunkte. Bei verlängerten Hypozykloiden (d>r) ist es umgekehrt gelagert: Für q>2 besitzt die Kurve i_R Schleifen und keine Wendepunkte; für q<2 besitzt sie keine Schleifen, kann aber für r<d<r_B insgesamt i_R Wendepunkte haben.
Ein wichtiger Sonderfall ist q=2, also R=2r und m=1. Liegt der erzeugende Punkt am Rand des rollenden Kreises (d=r), entsteht ein Durchmesser des festen Kreises, der zweifach durchlaufen wird. Liegt der Punkt innen (d<r) oder außen (d>r), entsteht die Ellipse ((r+d) cos α, (r-d) sin α). Für d>0 liegt die große Achse auf der x-Achse; für d=0 entsteht ein Kreis. Eine Ellipse (a cos α, b sin α) kann daher als Hypotrochoide mit r=(a+b)/2, d=(a-b)/2 und R=2r=a+b erzeugt werden.