Hexagon-Problem des Pappos

Kernidee des Problems

Das Hexagon-Problem des Pappos ist eine Aufgabe der ebenen Geometrie: In einen gegebenen Kreis sollen sieben reguläre, zusammenhängende Sechsecke eingeschrieben werden. Ein reguläres Sechseck ist ein Sechseck mit sechs gleich langen Seiten und sechs gleich großen Innenwinkeln. Die Konstruktion soll nur mit Zirkel und Lineal erfolgen.

Das Problem steht bei Pappos von Alexandria als letztes Theorem in Buch VIII, 16. Es ist nicht mit dem Satz von Pappos zu verwechseln, der auf Englisch gelegentlich Pappus's hexagon theorem heißt.

Konstruktionsweg

Die Konstruktion beginnt mit dem gegebenen Kreis um den Mittelpunkt A. Ein Radius AB wird gezeichnet.

Durch A wird eine beliebige Gerade gelegt, die nicht parallel zu AB ist. Auf dieser Geraden werden von A bis C 15 gleich lange Strecken abgetragen. Mithilfe von Parallelen zu BC werden daraus bestimmte Teilpunkte auf dem Radius AB gewonnen: Die Parallele durch den zehnten Streckenabschnitt schneidet AB im Punkt D, die Parallele durch den sechsten Streckenabschnitt schneidet AB im Punkt F.

Dann wird über der Seite BD ein gleichseitiges Dreieck konstruiert, also ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Zu diesem Dreieck wird der Umkreis u konstruiert. Anschließend wird durch F die Tangente an u gezeichnet, die den Kreis u im Punkt H berührt. Gemeint ist die Tangente auf derselben Seite von AB wie der Mittelpunkt E des Umkreises u.

Die Strecke BH ist dann die Seitenlänge der gesuchten regulären Sechsecke. Aus ihr können die sieben zusammenhängenden Sechsecke durch fortgesetzte Konstruktion gleichseitiger Dreiecke erzeugt werden.

Koordinatenmodell

Zur Begründung wird die Zeichnungsebene als xy-Ebene beschrieben. Jeder Punkt P wird als Vektor (x_P, y_P) angegeben. Vektoren können addiert, subtrahiert und mit Zahlen multipliziert werden, indem man dies jeweils mit ihren Koordinaten macht.

Der Ursprung (0,0) des Koordinatensystems liegt im Mittelpunkt A des gegebenen Kreises. Der Punkt B liegt auf der positiven x-Achse und hat die Koordinaten B=(R,0), wobei R der Radius des gegebenen Kreises ist.

Benötigte Seitenlänge

Bei einem regulären Sechseck ist der Radius seines Umkreises gleich seiner Seitenlänge. Nennt man diese Seitenlänge r, dann hat der Punkt H von B den Abstand r und von A den Abstand 2r. Der Winkel ∠AHB ist ein Innenwinkel eines regulären Sechsecks und beträgt α=120°. Außerdem gilt cos(120°)=−1/2.

Mit dem Kosinussatz im Dreieck ΔBHA ergibt sich:

R² = r² + (2r)² − 2 · r · (2r) · cos(120°) = 7 · r².

Daraus folgt die notwendige Seitenlänge:

r = R/√7.

Die Konstruktion muss also zeigen, dass die Strecke BH genau diese Länge R/√7 besitzt.

Nachweis der Konstruktion

Aus dem Strahlensatz folgt für die Konstruktion: BD hat die Länge 5R/15 = R/3. Der Mittelpunkt E des Umkreises des gleichseitigen Dreiecks über BD liegt mittig zwischen B und D bei x_E = 5R/6.

Die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge R/3 ist h = √3 · R/3 / 2 = R/√12. Daher hat E den Abstand y_E = h/3 = R/(2√27) von der y-Achse. Also gilt:

E = (5R/6, R/(2√27)).

Der Radius des Umkreises ist ρ = 2h/3 = R/√27. Der Punkt F liegt nach der Konstruktion im Abstand 6R/15 von A, also bei F=(2R/5,0). Zugleich gilt |DF| = 2R/3 − 2R/5 = 4R/15 = 4/5 |BD|.

Der Mittelpunkt G des Thaleskreises über EF ist:

G = (E+F)/2 = (37R/60, R/(4√27)).

Sein Radius ist:

ρ = |F−G| = √133 R/(10√27).

Warum BH richtig ist

Der Punkt H wird mit den Koordinaten H=(5R/7, √3 R/7) betrachtet. Für ihn werden drei Abstände nachgewiesen:

• |H−G| = √133 R/(10√27). Damit liegt H auf dem Thaleskreis über EF.
• |H−E| = R/√27. Damit liegt H auf dem Umkreis des gleichseitigen Dreiecks über BD.
• |H−B| = R/√7. Damit hat BH genau die benötigte Seitenlänge r.

Dass H zugleich auf dem Thaleskreis über EF und auf dem Umkreis des Dreiecks liegt, bedeutet: FH ist eine Tangente an den Umkreis. Der letzte Abstand zeigt, dass BH die erforderliche Länge für die Sechsecke hat. Damit ist begründet, dass die Konstruktion die richtige Seitenlänge liefert.