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Satz von Schwarz
Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach …
Inhalt5 Abschnitte
Kernaussage und Voraussetzungen
Der Satz von Schwarz (auch Satz von Clairaut oder Young-Theorem) gehört zur Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt: Bei ausreichend glatt differenzierbaren Funktionen ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen unerheblich. Er ist wichtig, weil er das Vertauschen von Ableitungen rechtfertigt und damit viele Rechnungen vereinfacht.
Ist U⊆ℝⁿ offen, f:U→ℝ mindestens k-mal partiell differenzierbar und sind alle k-ten partiellen Ableitungen in U stetig, dann ist f k-mal total differenzierbar. Für alle partiellen Ableitungen der Ordnung l≤k darf die Differentiationsreihenfolge vertauscht werden.
Für zwei Variablen und k≥2 gilt insbesondere: ∂/∂x(∂/∂y f(x,y)) = ∂/∂y(∂/∂x f(x,y)).
Die Stetigkeit aller zweiten partiellen Ableitungen ist eine hinreichende Voraussetzung. Der Satz gilt bereits unter schwächeren Voraussetzungen, etwa wenn die ersten partiellen Ableitungen am betrachteten Punkt total differenzierbar sind.
Allgemeine Form und höhere Ableitungen
Die geometrische Verallgemeinerung gilt für Banachräume E und F über ℝ oder ℂ. Ist U eine nichtleere offene Teilmenge von E und f:U→F in a∈U zweimal total differenzierbar, dann ist die zweite Ableitung f''(a) eine symmetrische stetige bilineare Abbildung. Für alle h,k∈E gilt: (f''(a)·h)·k = (f''(a)·k)·h.
Ist E=E₁×⋯×Eₙ ein Produkt von Banachräumen und die Norm mit der Produkttopologie verträglich, folgen daraus Existenz und Symmetrie der zweiten partiellen Ableitungen. Für kᵢ∈Eᵢ und hⱼ∈Eⱼ gilt: (∂²f/∂xᵢ∂xⱼ(a)·kᵢ)·hⱼ = (∂²f/∂xⱼ∂xᵢ(a)·hⱼ)·kᵢ.
Die Argumente dürfen dabei nicht weggelassen werden, weil die beiden Ableitungen im Allgemeinen auf unterschiedlichen Räumen wirken können. Die Symmetrie überträgt sich auch auf höhere Ableitungen: Bis zur vorhandenen Differenzierbarkeitsordnung sind partielle Ableitungen in diesem Sinn beliebig vertauschbar.
Gleichwertige Schreibweisen
Für gemischte zweite Ableitungen schreibt man auch ∂²f/∂x∂y(x,y) = ∂²f/∂y∂x(x,y) oder kurz fₓᵧ=fᵧₓ.
Der Satz bedeutet außerdem, dass die Hesse-Matrix einer Funktion f∈C²(U,ℝ) symmetrisch ist. Die Hesse-Matrix ist die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen.
Mit der äußeren Ableitung d lautet die Aussage für eine differenzierbare 0-Form f: d(df)=0 beziehungsweise dd=0. Für U⊆ℝ³ gilt entsprechend rot(grad f)=0 oder ∇×∇f=⃗0: Das Gradientenvektorfeld ist wirbelfrei.
Beispiel
Für f:ℝ²→ℝ mit f(x,y)=e^(x²) sin y sind die ersten partiellen Ableitungen fₓ=2xe^(x²) sin y, fᵧ=e^(x²) cos y.
Die gemischten zweiten Ableitungen sind fᵧₓ=2xe^(x²) cos y und fₓᵧ=2xe^(x²) cos y.
Damit gilt fₓᵧ=fᵧₓ, wie es der Satz von Schwarz unter seinen Voraussetzungen verlangt.
Grenze des Satzes und exakte Differentialgleichungen
Ohne die erforderliche Stetigkeit kann die Vertauschbarkeit scheitern. Für f(0,0)=0 und f(x,y)=(x³y−xy³)/(x²+y²) für (x,y)≠(0,0) existieren zwar die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz ℝ², aber ∂²f/∂x∂y(0,0)=1 und ∂²f/∂y∂x(0,0)=−1.
Bei einer Differentialgleichung a(x,y)+b(x,y)·y'=0 heißt sie exakt, wenn es eine stetig partiell differenzierbare Funktion Φ:U→ℝ gibt mit ∂Φ/∂x=a und ∂Φ/∂y=b. Sind a und b stetig partiell differenzierbar, ist nach dem Satz von Schwarz notwendig: ∂a/∂y(x,y)=∂b/∂x(x,y).
Ist die offene Menge U⊂ℝ² einfach zusammenhängend, folgt aus dieser Bedingung auch die Existenz von Φ; für sternförmiges U ergibt sich dies beispielsweise aus dem Poincaré-Lemma.