Gegendiagonale

Begriff und Bedeutung

Die Gegendiagonale oder Antidiagonale einer quadratischen Matrix besteht aus den Einträgen auf einer gedachten Linie von rechts oben nach links unten. Sie ist das Gegenstück zur Hauptdiagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft.

Allgemeiner sind Gegendiagonalen einer Matrix alle diagonalen Linien von rechts oben nach links unten. Sie werden gelegentlich „Nebendiagonalen“ genannt; meist bezeichnet dieser Ausdruck jedoch die zur Hauptdiagonale parallelen Diagonalen.

Mathematische Definition

Für eine quadratische Matrix A mit n Zeilen und n Spalten lautet die Gegendiagonale:

a₁,ₙ, a₂,ₙ₋₁, …, aₙ₋₁,₂, aₙ,₁.

Ein Eintrag aᵢ,ⱼ gehört genau dann zur Gegendiagonale, wenn die Summe seines Zeilenindex i und Spaltenindex j gleich n+1 ist: i+j=n+1.

Bei einer Matrix beliebiger Größe gehören die Einträge zu derselben Gegendiagonalen, wenn ihre Indexsumme konstant ist: i+j=k, wobei k ein konstanter Wert ist.

Beispiel: Hankel-Matrix

Bei der reellen Matrix

(0 1 2 3; 1 2 3 4; 2 3 4 5; 3 4 5 6)

besteht die Gegendiagonale aus den Elementen 3, 3, 3, 3. Auch die übrigen Gegendiagonalen enthalten jeweils nur gleiche Einträge. Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen Hankel-Matrizen.

Verwendung und besondere Matrizen

Bei der Regel von Sarrus wird die Determinante einer 3×3-Matrix mithilfe der Diagonalen und Gegendiagonalen der um die ersten beiden Spalten erweiterten Matrix berechnet.

Eine Matrix, die bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist, heißt persymmetrische Matrix. Eine Toeplitz-Matrix ist eine persymmetrische Matrix, deren Einträge auf der Hauptdiagonale und den Nebendiagonalen jeweils konstant sind. Ist eine Matrix sowohl zur Hauptdiagonale als auch zur Gegendiagonale symmetrisch, heißt sie bisymmetrische Matrix.