Regel von Sarrus

Grundidee

Die Regel von Sarrus ist ein Verfahren aus der linearen Algebra, mit dem man die Determinante einer 3 × 3-Matrix einfacher berechnen kann. Eine Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört und in vielen Bereichen der Mathematik wichtig ist. Die Regel ist nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannt und ist ein Spezialfall der Leibniz-Formel.

Berechnung bei 3 × 3-Matrizen

Für die Matrix

A = (a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33)

besteht die Determinante aus 6 Summanden mit jeweils 3 Faktoren. Zur Anwendung schreibt man die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix. Dann bildet man Produkte aus je 3 Zahlen entlang der schrägen Linien.

Die Produkte von links oben nach rechts unten werden addiert. Die Produkte von links unten nach rechts oben werden davon subtrahiert. Alternativ kann man die ersten beiden Zeilen unten an die Matrix anhängen und nach demselben Muster rechnen.

Formel

Die Determinante der 3 × 3-Matrix A lautet:

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Die ersten drei Produkte gehören zu den Diagonalen von links oben nach rechts unten. Die letzten drei Produkte gehören zu den Diagonalen von links unten nach rechts oben und werden abgezogen.

Abgrenzung und Alternativen

Für 2 × 2-Matrizen gibt es eine ähnlich aussehende Regel:

det(A) = |a11 a12; a21 a22| = a11a22 − a12a21

Die Regel von Sarrus gilt nur für Determinanten dritter Ordnung, also nur für 3 × 3-Matrizen. Für mehr als drei Dimensionen wird die Leibniz-Formel schnell sehr groß, weil der Rechenaufwand mit der Fakultät der Dimension wächst. Wenn viele Einträge einer Matrix Nullen sind, kann der laplacesche Entwicklungssatz die Berechnung vereinfachen. Allgemein deutlich schnellere Verfahren verwenden Zerlegungen der Matrix, zum Beispiel den Gauß-Algorithmus.