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Diagonaldominante Matrix
Diagonaldominante Matrizen bezeichnen in der numerischen Mathematik eine Klasse von quadratischen Matrizen mit einer zusätzlichen Bedingung an ihre …
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Grundidee der Diagonaldominanz
Diagonaldominante Matrizen sind in der numerischen Mathematik quadratische Matrizen, bei denen die Einträge auf der Hauptdiagonale im Vergleich zu den übrigen Einträgen ihrer Zeile besonders groß sind. Der Begriff „diagonaldominant“ wird in der Literatur uneinheitlich verwendet: Er kann strikt oder schwach diagonaldominant meinen. Die Unterscheidung hängt davon ab, ob eine strenge Ungleichung oder auch Gleichheit erlaubt ist.
Strikte Diagonaldominanz
Eine (n\times n)-Matrix A=(a_{ij}) heißt strikt, auch streng oder stark, diagonaldominant, wenn für jede Zeile i\in\{1,\ldots,n\} gilt:
\sum_{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|<|a_{ii}|.
Der Betrag des Diagonalelements a_{ii} ist also größer als die Summe der Beträge aller anderen Einträge derselben Zeile. Dieses Kriterium heißt auch starkes Zeilensummenkriterium. Es ist nicht gleichwertig mit dem entsprechenden Spaltensummenkriterium, aber gleichwertig mit dem Spaltensummenkriterium der transponierten Matrix.
Bedeutung bei Gleichungssystemen
Komplexe, strikt diagonaldominante Matrizen sind aufgrund der Gerschgorin-Kreise regulär, also invertierbar. Auch die aus ihnen durch Nullsetzen bestimmter Einträge entstehenden oberen und unteren Dreiecksmatrizen sind regulär.
Bei Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen, etwa dem Gauß-Seidel-, Jacobi- oder SOR-Verfahren, ist die Diagonaldominanz der Systemmatrix ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz des Verfahrens.
Schwache Diagonaldominanz
Eine n\times n-Matrix A=(a_{ij}) heißt schwach diagonaldominant, wenn für alle i\in\{1,\ldots,n\} gilt:
\sum_{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|\leq|a_{ii}|.
Hier darf der Betrag des Diagonalelements also genau gleich der Summe der Beträge der übrigen Zeileneinträge sein. Jede strikt diagonaldominante Matrix ist deshalb auch schwach diagonaldominant.
Reelle, symmetrische, schwach diagonaldominante Matrizen mit nichtnegativen Diagonaleinträgen sind positiv semidefinit.
Irreduzible Diagonaldominanz
In der Numerik partieller Differenzialgleichungen wird für Stabilitätsbetrachtungen eine n\times n-Matrix A=(a_{ij}) irreduzibel diagonaldominant genannt, wenn sie irreduzibel und schwach diagonaldominant ist und für mindestens ein i\in\{1,\ldots,n\} zusätzlich gilt:
\sum_{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|<|a_{ii}|.
Es muss also mindestens eine Zeile strikt diagonaldominant sein.