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Griechische Zahlzeichen
Die griechischen Zahlen werden durch Buchstaben als Ziffern dargestellt. Dabei sind drei verschiedene Darstellungsarten zu unterscheiden:.
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Grundprinzipien und Bedeutung
Griechische Zahlen werden durch Buchstaben als Ziffern dargestellt. Es gibt drei grundlegende Darstellungsarten:
• Das akrophonische System verwendet die Anfangsbuchstaben griechischer Zahlwörter. • Das Thesis-System ordnet den Buchstaben entsprechend ihrer Stellung im Alphabet unmittelbar die Werte 1 bis 24 zu. • Das milesische oder alphabetische System teilt die Zahlzeichen in Einer, Zehner und Hunderter mit dekadisch gestuften Werten ein.
Das alphabetische System war im alten Griechenland das wichtigste Zahlensystem und wurde von griechischen Mathematikern von der Antike bis zur Übernahme der indischen Ziffern in der modernen europäischen Mathematik verwendet. Seit hellenistischer Zeit diente es außerdem bei gematrischen Praktiken, also zahlenbezogenen Deutungen von Buchstaben und Wörtern.
Im heutigen Griechisch werden alphabetische Zahlen weiterhin häufig für Ordinalzahlen benutzt, etwa bei Herrschernamen und Schulklassen. Ein Kind in der fünften Klasse besucht beispielsweise die Epsilon-Klasse. Kardinalzahlen werden heute normalerweise mit indo-arabischen Dezimalziffern geschrieben. Nach griechischem Vorbild wurden unter anderem das hebräische, arabische und kyrillische Alphabet als Zahlenalphabete verwendet; das lateinische Alphabet wurde dagegen nicht entsprechend adaptiert, weil in Westrom und Westeuropa lange die römischen Zahlen vorherrschten.
Akrophonische Zahlzeichen
Der Gebrauch akrophonischer Zahlen ist ungefähr seit Beginn des 5. Jahrhunderts v. Chr. belegt. Die Zeichen beruhen auf den Anfangsbuchstaben der jeweiligen Zahlwörter und bilden ein System, das den nahezu gleichzeitig entwickelten römischen Zahlen ähnelt.
Die Grundzeichen sind Ι = 1, 𐅃 = 5, Δ = 10, Η = 100, Χ = 1000 und Μ = 10 000. Für das Fünffache einer Einheit wird deren Zeichen in das Zeichen 𐅃 für 5 eingeschrieben. So entstehen 𐅄 = 50, 𐅅 = 500, 𐅆 = 5000 und 𐅇 = 50 000. Dadurch muss dasselbe Zeichen nicht fünfmal oder öfter hintereinander geschrieben werden.
Die Zahlen werden additiv zusammengesetzt. Als Beispiel nennt der Artikel 1982 in einer aus Zeichen für 1000, 500, viermal 100, 50, dreimal 10 und zweimal 1 aufgebauten Schreibweise; ihr Aufbau entspricht der römischen Darstellung MCMLXXXII. Akrophonische Zahlzeichen sind seit Unicode-Version 4.1 aus dem Jahr 2005 im Block „Altgriechische Zahlzeichen“ enthalten.
Thesis-System
Das Thesis-System ist ein lineares Zahlenalphabet: Der Zahlenwert eines Buchstabens ergibt sich unmittelbar aus seiner Stellung, griechisch thesis, im Alphabet. Alpha bis Omega stehen daher der Reihe nach für 1 bis 24. Zusätzliche Rechenoperationen oder ein Steigerungsprinzip gibt es nicht. Die drei numerischen Sonderzeichen Digamma beziehungsweise Stigma, Qoppa und Sampi gehören nicht dazu.
Weil dieses System auf 24 Werte beschränkt ist, wurde es von Mathematikern nicht verwendet. Hinweise auf seinen Gebrauch sieht die Forschung unter anderem in der Einteilung von Homers Ilias und Odyssee in jeweils 24 Gesänge, die zumindest in der Tradition der alexandrinischen Grammatiker mit den Buchstaben des Alphabets nummeriert und zitiert wurden. Weitere mögliche Belege sind Zählbuchstaben auf den Friestafeln des Pergamonaltars. Zeichen für Werte unter zehn auf Lostafeln oder zur Bezeichnung der Stadtteile Alexandrias sind dagegen kein eindeutiger Nachweis für das vollständige Thesis-System.
Aufbau des milesischen Systems
Das milesische System entstand nach dem Vorbild ägyptischer Zahlenschriften. Hieratische Zahlen sind seit der Mitte des 3. Jahrtausends v. Chr. belegt; die demotische Schrift vereinfachte sie später weiter. Mitte des 4. Jahrhunderts v. Chr. ersetzten die Griechen die ersten drei Reihen von jeweils neun hieratisch-demotischen Ziffern durch Buchstaben ihres Alphabets. Das Ergebnis war ein alphabetisches Zahlensystem aus drei Gruppen zu je neun Zeichen: für Einer, Zehner und Hunderter.
Für die erforderlichen 27 Zeichen wurden drei alte, im klassischen Alphabet nicht mehr verwendete Buchstaben herangezogen: Ϝ beziehungsweise ϛ für 6, Ϙ/Ϟ beziehungsweise ϟ für 90 und Ϡ beziehungsweise ϡ für 900. Sie heißen Digamma oder Stigma, Qoppa oder Koppa und Tsampi oder Sampi. Digamma und Qoppa behielten ihre ursprünglichen Stellen im Alphabet; Sampi wurde an die letzte Stelle gesetzt.
Die Einer sind α bis θ mit den Werten 1 bis 9, wobei ϛ für 6 steht. Die Zehner reichen von ι = 10 bis ϟ = 90, die Hunderter von ρ = 100 bis ϡ = 900. Durch Addition lassen sich die Zahlen 1 bis 999 bilden: η = 8, πη = 80 + 8 = 88 und τιη = 300 + 10 + 8 = 318. Eine Null ist nicht nötig: σ = 200, σβ = 202 und σκ = 220.
Die Reihenfolge verlief nicht immer vom höchsten zum niedrigsten Wert. Eine athenische Inschrift aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. schreibt 318 als ηιτ, also 8 + 10 + 300. Diese Anordnung blieb in Kleinasien bis weit in die Römerzeit erhalten. Möglicherweise wurde die spätere Reihenfolge unter dem Einfluss der römischen Zahlschrift angepasst.
Zur Unterscheidung von Wörtern wurden Zahlen in Handschriften meist überstrichen. Im Buchdruck setzte sich dahinter das Zeichen ʹ durch, die rechte Keréa mit Unicode U+0374. Die Zahlen 1000 bis 9999 entstehen, indem ein links unten stehendes Zeichen den folgenden Zahlbuchstaben mit 1000 multipliziert. Im Druck verwendet man dafür ͵, die linke Keréa mit Unicode U+0375. Somit bedeuten ͵α bis ͵θ die Werte 1000 bis 9000. Ein Beispiel ist ͵αωκαʹ = 1821.
Erweiterungen für große Zahlen
Die traditionelle Standard-Erweiterung beruht auf der Myriade, also 10 000. Im Griechischen ist selbst heute das Zahlwort „Million“ unüblich; eine Million heißt wörtlich „hundert Myriaden“. Die traditionell höchste Zahl des Systems ist 99 Millionen 999 Tausend 999, in antiker Ausdrucksweise 9999 Myriaden 9999. Sie kann als ͵Θϡϟθ Μ ͵Θϡϟθ geschrieben werden, wobei Μ die Myriaden kennzeichnet.
Aristarchos von Samos schrieb 71 Millionen 755 Tausend 875 als 7175 Myriaden 5875: ͵ΖΡΟΕ Μ ͵ΕΩΟΕ. Diophantos von Alexandria verkürzte das Myriadenzeichen bei 4372 Myriaden 8097, also 43 Millionen 728 Tausend 097, zu einem Punkt. Häufig schrieb man die Anzahl der Myriaden über das akrophonische Μ. Moderne griechische Zahlwörter sind außerdem δισεκατομμύριο = 1 000 000 000 und τρισεκατομμύριο = 1 000 000 000 000.
Ein anderes, sehr selten benutztes System ist für Apollonios von Perge durch Pappos von Alexandria überliefert. Angeregt durch Archimedes unterschied Apollonios Myriaden erster bis neunter Ordnung. Archimedes hatte im „Sandrechner“ Ordnungen und Perioden auf der Grundlage von Oktaden der Größen 10^8 beziehungsweise 10^64 definiert, aber keine handhabbare Schreibweise angegeben. Apollonios schrieb über das Μ mit dem Wert 10^4 eines der Zeichen α bis θ. Diese Zeichen dienten hier als Exponenten 1 bis 9, sodass der darstellbare Bereich bis 10^36 erweitert wurde. Die Zahl 5 462 360 064 000 000 wurde dabei als Summe 10 000^3 × 5462 + 10 000^2 × 3600 + 10 000^1 × 6400 zerlegt.