Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gegenstand und Deutungen

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Stochastik untersucht mathematisch Experimente mit unsicherem Ausgang. Sie wurde zunächst durch Glücksspiele angeregt, später auch durch Philosophie, Rechtswissenschaft, Versicherungswesen und Physik; heute ist besonders die Finanzmathematik wichtig. Über die Statistik wird sie in praktisch allen quantitativ arbeitenden Wissenschaften verwendet.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß wurde erst 1933 durch die Axiome von Kolmogorow exakt definiert. Diese Axiome legen strukturelle Merkmale eines brauchbaren Maßes fest, entscheiden aber nicht abschließend, was Wahrscheinlichkeit inhaltlich bedeutet. Im Frequentismus ist sie der Grenzwert der relativen Häufigkeit bei beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholten Experimenten. Das passt etwa zu Glücksspielen, nicht aber zu einmaligen Vorgängen. Im Bayesianismus misst Wahrscheinlichkeit, wie stark jemand vom Eintreten eines Ereignisses überzeugt ist; dies ist auch bei bloß unbekanntem, nicht unbedingt zufälligem Ausgang anwendbar, führt aber Subjektivität und Probleme etwa durch Risikoaversion bei Wettinterpretationen ein.

Die Entwicklung wurde durch Schwierigkeiten beim Begriff des Zufalls, durch Skepsis von Theologie, Naturwissenschaft und Mathematik sowie durch kontraintuitive Ergebnisse verzögert. Stochastische Paradoxa zeigen insbesondere die Bedeutung einer genauen Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

Frühe Ansätze und Glücksspiele

Schon im Altertum wurden Astragali, Sprunggelenksknöchelchen von Schafen, im Römischen Reich als Spielwürfel und für Orakel benutzt. Würfel in Kubusform oder als Tetraeder sind ebenfalls früh belegt; ein Fund im heutigen Iran datiert auf etwa 3000 v. Chr. Der Versuch, ideale Würfel mit für alle Seiten gleicher Wahrscheinlichkeit herzustellen, kann als frühe Form stochastischen Kalküls gelten. In Indien gab es vor 1000 v. Chr. Spiele mit fünfseitigen Nussfrüchten und später Prismenwürfeln.

Konkrete überlieferte stochastische Berechnungen aus der hellenistischen Welt sind nicht bekannt. Als mögliche Gründe nennt der Artikel einen noch nicht numerisch ausgeprägten Wahrscheinlichkeitsbegriff und die antike Abneigung gegen Empirismus: Erkenntnis sollte aus logischer Argumentation, nicht aus Experimenten entstehen. Aristoteles’ Aussage, Zufall entziehe sich der Erkenntnis, wirkte lange nach.

Auch Versicherungen erforderten frühe Risikoeinschätzungen. Verträge für Seehandelsreisen sind in Babylon und China mindestens bis ins zweite Jahrtausend v. Chr. nachweisbar; der Codex Hammurapi erwähnt sie um 1760 v. Chr. Im Römischen Reich gab es Leibrenten. Rechenmodelle der Kaufleute sind jedoch kaum erhalten.

Im christlichen Mittelalter waren Orakel und Glücksspiel verbreitet, aber verpönt. De vetula, dem Richard de Fournival (1201–1260) zugeschrieben, beschreibt im 13. Jahrhundert drei Würfel und ihre 216 Kombinationen. Im 16. Jahrhundert begründete Gerolamo Cardano mit dem ab 1524 entstandenen Liber de Ludo Aleae die Theorie diskreter Zufallsprozesse; veröffentlicht wurde das Werk erst 1663.

Teilungsproblem und Erwartungswert

Der Briefwechsel von Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 gilt vielen als Geburtsstunde der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beim Würfelproblem zeigte sich, dass eine sechsfach kleinere Trefferwahrscheinlichkeit nicht einfach durch sechsmal so viele Versuche ausgeglichen wird: Mit einem Würfel in vier Versuchen mindestens eine Sechs zu werfen hat Wahrscheinlichkeit 671/1296 und damit knapp über 50 Prozent. Bei 24 Würfen mit zwei Würfeln auf eine Doppelsechs liegt die Chance knapp unter 50 Prozent.

Beim Teilungsproblem wird ein Spiel mit fairen Runden vorzeitig abgebrochen. Der Geldpreis soll nach den Gewinnwahrscheinlichkeiten beim aktuellen Spielstand geteilt werden. Pascal und Fermat verwendeten Kombinatorik und das Pascalsche Dreieck: Die Wahrscheinlichkeit, von n ausstehenden Spielen genau k zu gewinnen, beträgt (n über k) · 1/2^n. Frühere Lösungen, unter anderem von Cardano, Luca Pacioli und Nicolo Tartaglia, beruhten oft auf Proportionen oder kaufmännischer Rechnung und weichen teilweise von dieser heute als richtig geltenden Lösung ab.

Christiaan Huygens veröffentlichte 1657 De Ratiociniis in Ludo Aleae, die früheste gedruckte stochastische Publikation. Mit einem Indifferenzprinzip für faire Spiele entwickelte er den Erwartungswert: Ein Spiel ist fair, wenn erwarteter Gewinn und Einsatz gleich sind. Damit konnten auch Spiele mit unterschiedlichen Einsätzen oder Gewinnen beurteilt werden. Huygens’ Methoden wurden etwa 1671 von Johan de Witt zur Bewertung staatlicher Leibrenten und im ersten bekannten stochastischen Mortalitätsmodell verwendet.

Fundamentalsätze und getrennte Schulen

Jakob I Bernoullis Ars conjectandi erschien 1713 posthum. Das Werk behandelte Kombinatorik, Binomialverteilung und Folgen identischer Zufallsprozesse; bei zwei möglichen Ausgängen heißen sie Bernoulli-Ketten. Bernoulli bewies, statt es anzunehmen, die Konvergenz relativer Häufigkeiten gegen die Wahrscheinlichkeit und formulierte eine frühe Version des Gesetzes der großen Zahlen. Abraham de Moivres The Doctrine of Chances von 1718 prägte die englische Schule. Der Satz von Moivre-Laplace ist ein zentraler Grenzwertsatz und führte die Normalverteilung als Grenzwert diskreter Wahrscheinlichkeiten ein.

Thomas Bayes führte 1764 bedingte Wahrscheinlichkeit formal ein und behandelte einen Spezialfall des Satzes von Bayes. Der Artikel unterscheidet dabei: Stochastik schließt von gegebenen Verteilungen auf zukünftige Ereignisse (forward probability), Statistik von Beobachtungen auf die ursprüngliche Verteilung (backward probability). Probleme bereiteten stetige Verteilungen: Einzelwerte können nicht alle positive Wahrscheinlichkeit haben, während Ereignisse der Wahrscheinlichkeit null damals als unmöglich gedeutet wurden.

Die französisch dominierte kontinentale Schule beschäftigte sich stärker mit dem Wesen von Zufall und Wahrscheinlichkeit. Pierre-Simon Laplaces Théorie Analytique des Probabilités von 1812 fasste frühere Ergebnisse zusammen und ging intuitiv von Gleichverteilung aus. Weitere wichtige Ergebnisse waren die Methode der kleinsten Quadrate von Carl Friedrich Gauß (1795) und Adrien-Marie Legendre (1806), die Poisson-Verteilung sowie die Tschebyschow-Ungleichung und eine Verallgemeinerung des Gesetzes der großen Zahlen.

Axiomatische Grundlage

Um 1900 schuf die Mengenlehre von Georg Cantor (1895–1897), Hilberts sechstes Problem zur Axiomatisierung und Émile Borels Maßtheorie von 1901, später ergänzt durch die Integrationstheorie von Henri Léon Lebesgue, die Grundlage der modernen Theorie. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist (Ω, A, P): Ω ist die Menge elementarer Ereignisse, etwa {1, 2, …, 6} beim Würfel; A ist eine σ-Algebra, also eine Sammlung der Ereignisse, für die Wahrscheinlichkeiten sinnvoll definiert sind; P ordnet jedem A∈A eine Wahrscheinlichkeit P(A)≥0 zu.

Es gelten insbesondere P(∅)=0, die Additivität für abzählbare Vereinigungen disjunkter Ereignisse und P(Ω)=1. Eine Nullmenge hat Wahrscheinlichkeit null und tritt fast sicher nicht ein. Sie ist jedoch nicht dasselbe wie ein unmögliches Ereignis: Ein einzelner Punkt bei einem stetigen Zufallsexperiment kann eintreten, obwohl er Wahrscheinlichkeit null hat; die Augenzahl sieben beim normalen Würfel ist dagegen nicht in Ω und daher unmöglich. Messbare Abbildungen auf Ω sind Zufallsvariablen, das Lebesgue-Integral ∫Ω f dP ist ihr Erwartungswert, und eine Wahrscheinlichkeit relativ zu A⊂Ω entspricht bedingter Wahrscheinlichkeit P(B|A).

Andrei Kolmogorows Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung von 1933 bündelte diese Theorie einschließlich seines Erweiterungssatzes und gab unterschiedlichen Schulen eine einheitliche Grundlage.

Stochastische Prozesse und heutige Anwendungen

Nach 1933 verlagerte sich ein Schwerpunkt auf stochastische Prozesse, also zeitlich oder räumlich strukturierte Zufallsvariablen in oft unendlichdimensionalen Funktionenräumen. Zentral ist die Brownsche Bewegung: Albert Einstein nutzte sie 1905 zur Erklärung der molekularen Struktur von Wasser; Norbert Wiener bewies 1923 ihre Existenz als stochastischen Prozess. Sie heißt deshalb auch Wiener-Prozess und ist grundlegend für die stochastische Analysis.

Martingale, ursprünglich Roulette-Strategien, wurden unter anderem von Paul Lévy und Joseph L. Doob weiterentwickelt; Semimartingale bilden heute ein Grundgerüst der stochastischen Analysis. Eine Filtrierung ist eine zeitlich geordnete Familie von σ-Algebren und beschreibt, welche Ereignisse zu einem Zeitpunkt bereits bekannt sind. Weitere Forschungsfelder sind Lévy-Prozesse, Zufallsmatrizen, Perkolationstheorie und Zufallsgraphen.

In der Finanzmathematik verwendete Louis Bachelier bereits 1900 Brownsche Bewegung für Optionspreise. Itō Kiyoshi begründete in den 1940er Jahren die stochastische Integration; sie ist für Modelle wie Black-Scholes wichtig. Beim Maßwechsel sucht man zu einem Prozess ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem er gewünschte Eigenschaften, etwa die eines Martingals, besitzt. Der Fundamentalsatz der Aktienbewertung verbindet Martingalmaße mit der Möglichkeit von Arbitrage. Seit den 1970er und 1980er Jahren gehören auch stochastische Differentialgeometrie, stochastische partielle Differentialgleichungen, Weißes-Rauschen-Analysis und Malliavin-Kalkül zu wichtigen Gebieten.