Riemannsche Vermutung

Kernidee und mathematische Formulierung

Die Riemannsche Vermutung (RH) ist eine bis heute ungelöste Aussage über die Verteilung der Primzahlen. Primzahlen sind natürliche Zahlen mit genau den Teilern 1 und sich selbst; die 1 ist keine Primzahl. Jede positive ganze Zahl lässt sich nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben, zum Beispiel 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11.

Die Vermutung betrifft die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s), wobei s = σ + it eine komplexe Zahl mit Realteil σ, Imaginärteil t und i² = −1 ist. Für σ > 1 wird sie durch die Dirichlet-Reihe

ζ(s) = Σₙ₌₁^∞ 1/nˢ = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ···

definiert. Diese Reihe konvergiert dort, aber die Zeta-Funktion lässt sich holomorph auf ganz C außer s = 1 fortsetzen; bei s = 1 besitzt sie einen Pol. Ihre Funktionalgleichung verbindet ζ(s) mit ζ(1 − s) und erzeugt eine Spiegelung an der Geraden Re(s) = 1/2.

Die Nullstellen der Zeta-Funktion erfüllen ζ(ρ) = 0. Die trivialen Nullstellen sind die negativen geraden Zahlen −2, −4, −6, … . Alle übrigen Nullstellen liegen im kritischen Streifen 0 < Re(s) < 1 und heißen nichttriviale Nullstellen. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass für jede nichttriviale Nullstelle ρ gilt:

Re(ρ) = 1/2.

Die Gerade Re(s) = 1/2 heißt kritische Gerade. Wegen der Funktionalgleichung und der Symmetrie komplex konjugierter Werte treten nichttriviale Nullstellen grundsätzlich in Gruppen ρ, 1 − ρ, ρ̄, 1 − ρ̄ auf; unter der Riemannhypothese fallen diese zu Paaren zusammen. Die ersten nichttrivialen Nullstellen mit positivem Imaginärteil beginnen mit 1/2 + 14,1347251417…i, 1/2 + 21,0220396387…i und 1/2 + 25,0108575801…i. Es ist außerdem unbekannt, ob alle nichttrivialen Nullstellen einfach sind; numerisch wurden bisher nur einfache Nullstellen gefunden.

Primzahlen, Reihen und äquivalente Aussagen

Euler erkannte den Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen im Euler-Produkt:

ζ(s) = Σₙ₌₁^∞ 1/nˢ = ∏ₚ 1/(1 − 1/pˢ), σ > 1,

wobei das Produkt über alle Primzahlen p läuft. Es folgt aus der geometrischen Reihe und der eindeutigen Primfaktorzerlegung. Das Euler-Produkt zeigt, dass die Zeta-Funktion Informationen über sämtliche Primzahlen gleichzeitig enthält. Es gilt ζ(s) ≠ 0 für Re(s) > 1; zusammen mit weiteren Resultaten ist bekannt, dass außerhalb des kritischen Streifens nur die trivialen Nullstellen liegen.

Der Primzahlsatz beschreibt die mittlere Verteilung der Primzahlen. Für die Primzahlfunktion π(x), die die Anzahl der Primzahlen bis x zählt, gilt

π(x) ~ Li(x), Li(x) = ∫₂ˣ dt/log(t),

also limₓ→∞ π(x)/Li(x) = 1. Die Riemannsche Vermutung verschärft diese Aussage zum Fehlerterm

π(x) = Li(x) + O(x¹ᐟ² log(x)).

Äquivalent ist die Abschätzung für die Tschebyschow-Funktion ψ(x) = Σₙ≤ₓ Λ(n):

ψ(x) = x + O(x¹ᐟ² log(x)²).

Dabei springt ψ bei jeder Primzahlpotenz pᵏ um log(p). Eine explizite Formel von Hans von Mangoldt stellt ψ(x) als x plus eine Summe über die nichttrivialen Nullstellen dar. Die Nullstellen wirken darin wie Frequenzen; ihre Überlagerung rekonstruiert die Verteilung der Primzahlpotenzen. Dies wird als Dualität zwischen Primzahlen und Zeta-Nullstellen oder als Riemannsches Spektrum bezeichnet.

Eine weitere äquivalente Sichtweise betrifft die Liouville-Funktion λ(n) = (−1)^Ω(n), wobei Ω(n) die Anzahl der Primfaktoren mit Vielfachheiten ist. Für 62678 = 2 · 7 · 11² · 37 gilt Ω(62678) = 5 und λ(62678) = −1. Die Vermutung ist äquivalent zu

|L(N)| ≪ε N¹ᐟ²⁺ε für jedes ε > 0, L(N) = Σₙ≤N λ(n).

Das bedeutet, dass sich gerade und ungerade Primfaktoranzahlen langfristig möglichst zufällig ausgleichen. Für die Möbius-Funktion μ(n), die bei mehrfachen Primfaktoren den Wert 0 und sonst je nach Anzahl verschiedener Primfaktoren ±1 annimmt, gilt entsprechend: Die RH ist äquivalent zu |M(N)| ≪ε N¹ᐟ²⁺ε für M(N) = Σₙ≤N μ(n).

Mit diesen Schranken lassen sich Dirichlet-Reihen analysieren. Die Reihen Σ λ(n)/nˢ und Σ μ(n)/nˢ sollen für Re(s) > 1/2 konvergieren und dort holomorph sein. Für σ > 1 folgt die Konvergenz unmittelbar aus dem Majorantentest; der schwierige Bereich ist 1/2 < σ ≤ 1. Der Majorantentest nutzt eine konvergente Reihe über Beträge. Die partielle Summation nach Niels Henrik Abel behandelt Reihen Σ aₙbₙ, indem die Teilsummen Aₙ = a₁ + ··· + aₙ und die Differenzen bₙ − bₙ₊₁ verwendet werden.

Bedeutung für Primzahlen und Mathematik

Die RH würde die Abweichung zwischen tatsächlicher und erwarteter Primzahlverteilung stark begrenzen. Lowell Schoenfeld zeigte, dass unter ihrer Annahme für x ≥ 2657 sogar

|π(x) − Li(x)| < √x log(x)/(8π)

gilt. Allgemeiner kontrolliert die größte Realteilkoordinate Θ einer nichttrivialen Nullstelle die Fehlerterme: π(x) = Li(x) + O(x^Θ log(x)) und ψ(x) = x + O(x^Θ log(x)²). Für die Primzahllücken folgt unter RH für jedes ε > 0:

pₙ₊₁ − pₙ = O(√pₙ log(pₙ)²⁺ε).

Für p₁₀₀₀₀ = 104729 und p₁₀₀₀₁ = 104743 beträgt die Lücke 14. Die RH löst jedoch nicht alle Fragen zu kurzen Primzahllücken. Selbst unter ihrer Annahme ist nur eine Schranke O(√x log(x)) für die größte Lücke in [x, 2x] bekannt; die vermutete Größenordnung O(log(x)²) ist die Cramérsche Vermutung. Dichtehypothesen über die Anzahl der Nullstellen in Teilstreifen können für manche Resultate die RH ersetzen. Eine Abschätzung von Larry Guth und James Maynard aus dem Juni 2024 lautet N(σ,T) ≪ T³⁰⁽¹⁻σ⁾/¹³⁺ᵒ⁽¹⁾.

Viele äquivalente Kriterien formulieren die Vermutung in anderen mathematischen Bereichen. Das Ramanujan-Robin-Kriterium besagt, dass die RH genau dann gilt, wenn für alle n ≥ 5041

σ₁(n) < eᵞ n log(log(n)),

wobei σ₁(n) die Summe der positiven Teiler, γ = 0,57721… die Euler-Mascheroni-Konstante und e = 2,71828… die Eulersche Zahl sind. Das Lagarias-Kriterium verwendet die harmonische Zahl Hₙ und lautet σ₁(n) ≤ Hₙ + eᴴⁿ log(Hₙ). Das Nyman-Beurling-Kriterium verbindet die RH mit der Dichtheit eines bestimmten Funktionenraums in Lᵖ(0,1). Weitere Kriterien betreffen ganze Funktionen und asymptotische Wachstumsabschätzungen.

Die Vermutung besitzt außerdem Verbindungen zur Fourier-Analysis: Die logarithmierten Primzahlpotenzen bilden ein Spektrum, während die Imaginärteile der Zeta-Nullstellen als zugehörige Frequenzen erscheinen. In der Physik gibt es die Hilbert-Polya-Idee, nach der die Nullstellen Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators sein könnten. Dann wären ihre Imaginärteile reell und die RH würde folgen. Die Abstände der Nullstellen ähneln denen der Eigenwerte hermitescher Zufallsmatrizen aus dem Gaussian Unitary Ensemble (GUE). Diskutiert werden auch Beziehungen zu Quantenchaos, statistischer Mechanik und eindimensionalen Quasikristallen.

Geschichte, Teilresultate und numerische Prüfung

Bernhard Riemann formulierte die Vermutung 1859 in seiner neunseitigen Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, zunächst nur in einem Nebensatz. 1900 nahm David Hilbert sie als Problem Nr. 8 in seine Liste von 23 Jahrhundertproblemen auf. 1998 wurde das Clay Mathematics Institute gegründet; im Jahr 2000 wurde die RH zu einem der sieben Millennium-Probleme erklärt. Für einen akzeptierten Beweis ist ein Preisgeld von 1 Million US-Dollar ausgelobt. Nach den Regeln können für ein rein rechnerisch gefundenes Gegenbeispiel besondere Bedingungen gelten.

Ein vollständiger Beweis oder eine Widerlegung ist bisher nicht bekannt. Zu den historischen Resultaten gehören der Satz von Hardy von 1914, nach dem unendlich viele nichttriviale Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen, sowie Verbesserungen durch Hardy und Littlewood 1921 und Atle Selberg 1942. Selberg zeigte, dass ein positiver Anteil aller Nullstellen dort liegt. Norman Levinson bewies 1973 zunächst mindestens ein Drittel; Brian Conrey verbesserte den Anteil 1989 auf mehr als 2/5. 2020 wurde gezeigt, dass mehr als 5/12 = 0,416… aller Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. Dies ist trotz der hohen Anteile kein Beweis, dass dort alle Nullstellen liegen.

Für die Zeta-Funktion sind nullstellenfreie Regionen nahe Re(s) = 1 bekannt. Das klassische Gebiet hat die Form

Re(s) > 1 − C/max{log|Im(s)|, 1}.

Das schärfste im Artikel angegebene Gebiet gilt für |Im(s)| > 3 und lautet

Re(s) ≥ 1 − 1/[57,54(log|Im(s)|)²ᐟ³(log log|Im(s)|)¹ᐟ³].

Es führt zu einer Primzahlsatz-Fehlerabschätzung der Form π(x) = Li(x) + O(x exp(−c log(x)³ᐟ⁵ log(log(x))⁻¹ᐟ⁵)); ein expliziter Wert ist c = 0,2098.

Numerische Untersuchungen begannen mit Jørgen Pedersen Gram 1903. Edward Charles Titchmarsh überprüfte 1936 die ersten 1041 nichttrivialen Nullstellen, Alan Turing setzte die Berechnungen 1953 fort. 1979 wurden zunächst 200 Millionen, später 300 Millionen Nullstellen überprüft. Bis 2005 wurden im ZetaGrid Project 900 Milliarden Nullstellen kontrolliert; Xavier Gourdon und Patrick Demichel überprüften bis Oktober 2004 die ersten 10 Billionen (10¹³) Nullstellen. Alle untersuchten Nullstellen lagen auf der kritischen Geraden. Solche Rechnungen können die Vermutung nur durch ein Gegenbeispiel widerlegen, nicht durch die Prüfung endlich vieler Nullstellen beweisen.

Verallgemeinerungen und Anwendungen

Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung (GRH) überträgt die Aussage auf Dirichletsche L-Funktionen

L(s,χ) = Σₙ₌₁^∞ χ(n)/nˢ = ∏ₚ 1/(1 − χ(p)/pˢ),

wobei χ ein periodischer, streng multiplikativer Dirichlet-Charakter ist. Die GRH besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen im Streifen 0 < Re(s) < 1 den Realteil 1/2 besitzen. Sie liefert Aussagen über Primzahlen in arithmetischen Progressionen und wird bei bestimmten deterministischen Primzahltests verwendet. Miller entwickelte 1976 unter GRH einen deterministischen Test; Michael O. Rabin entwickelte 1980 einen probabilistischen Test ohne diese Voraussetzung. Ein von Bach 1990 beschriebenes Verfahren macht den Miller-Rabin-Test unter GRH deterministisch mit Laufzeit O(log(n)⁴). Das RSA-Kryptosystem nutzt große Primzahlen; seine Sicherheit beruht unter anderem darauf, dass es für herkömmliche Computer keinen effizienten Faktorisierungsalgorithmus gibt.

Für einen Zahlkörper K gibt es die Dedekindsche Zeta-Funktion ζᴷ(s), die die Primidealzerlegung im Ganzheitsring Oᴷ erfasst. Dieser Ring besitzt im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primelemente; für Ideale gilt sie jedoch. Die RH für Zahlkörper fordert ebenfalls den Realteil 1/2 für alle nichttrivialen Nullstellen. Die Grand Riemann Hypothesis erweitert dies auf sehr allgemeine L-Funktionen automorpher Darstellungen und umfasst insbesondere Dirichletsche L-Funktionen, L-Funktionen zu Modulformen sowie Dedekind-, Hecke-, Artin- und Hasse-Weil-Zeta- beziehungsweise L-Funktionen.

Über endlichen Körpern lassen sich Varietäten, also Lösungen von Polynomgleichungen, mit Zeta-Funktionen verbinden. Für eine Kurve C über Fq mit q Elementen, wobei q eine Primzahlpotenz ist, lautet eine Definition

ζ(C/k,s) = exp(Σₙ₌₁^∞ |V(kₙ)|q⁻ˢⁿ/n).

Für Kurven des Geschlechts g gilt die bewiesene Abschätzung ||C(Fq)| − (q + 1)| ≤ 2g√q. Der Fall elliptischer Kurven wurde 1934 von Helmut Hasse behandelt; die allgemeine Aussage für Kurven bewies André Weil in den 1940er Jahren. Die Weil-Vermutungen für beliebige Varietäten über endlichen Körpern wurden 1974 von Pierre Deligne bewiesen. Dieser bewiesene Funktionenkörperfall gilt als wichtiger Hinweis auf die Tragweite der Riemannhypothese, während der entsprechende globale Zahlkörperfall offen bleibt.