Weierstraß-Funktion

Grundidee und Bedeutung

Eine Weierstraß-Funktion ist in der Mathematik ein klassisches Beispiel für eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Stetigkeit bedeutet hier, dass sich die Funktionswerte bei kleinen Änderungen von x nur wenig ändern. Differenzierbarkeit an einer Stelle würde dagegen bedeuten, dass der Graph dort eine eindeutig bestimmbare Tangente beziehungsweise momentane Steigung besitzt. Bei einer Weierstraß-Funktion gibt es keine solche Stelle.

Das Beispiel war bedeutsam, weil es die frühere intuitive Annahme widerlegte, jede stetige Funktion sei zumindest bis auf eine „kleine“ Menge von Punkten differenzierbar. Die Funktion zeigt vielmehr, dass Stetigkeit allein keine Tangenten und keine Ableitung garantiert. Es gibt allerdings speziellere Klassen stetiger Funktionen mit besserem Verhalten: Bei Lipschitz-stetigen Funktionen muss die Menge der nicht differenzierbaren Punkte eine Lebesgue-Nullmenge sein.

Der Ausdruck kann außerdem für ähnliche Funktionen verwendet werden, die durch unendliche Reihen aufgebaut sind und dieselben auffälligen Eigenschaften haben. Nicht gemeint sind dabei notwendigerweise die weierstraßsche elliptische Funktion \wp sowie die weierstraßsche Sigma-, Zeta- oder Eta-Funktion, obwohl auch sie gelegentlich so bezeichnet werden.

Reihendarstellung und Bedingungen

Weierstraß-Funktionen werden in den hier beschriebenen Varianten als Reihen mit Winkelfunktionen definiert. In der Originaldefinition lautet die Funktion

f(x):=\sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos(b^n\pi x).

Dabei gilt 0<a<1, b\in\mathbb{N} ist ungerade, und zusätzlich muss ab>1+\frac{3}{2}\pi erfüllt sein. Die Potenzen a^n lassen die Amplituden der Summanden kleiner werden. Gleichzeitig wachsen die Faktoren b^n im Argument des Kosinus; die Schwingungen werden daher immer feiner. Gerade dieses Zusammenspiel ermöglicht einen stetigen Graphen, der dennoch nirgends eine wohldefinierte Tangente hat.

Godfrey Harold Hardy zeigte 1916 für dieselbe Reihe, dass sie unter den Annahmen 0<a<1 und ab\geq 1 nirgends differenzierbar ist.

Stetigkeit der Reihe

Für jedes n\in\mathbb{N}_0 und jedes x\in\mathbb{R} gilt

\lvert a^n\cos(b^n\pi x)\rvert\leq a^n.

Die geometrische Reihe \sum_{n=0}^{\infty}a^n ist wegen 0<a<1 konvergent. Nach dem weierstraßschen Majorantenkriterium folgt daraus, dass die Reihe \sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x) bezüglich x\in\mathbb{R} gleichmäßig konvergiert. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass die Partialsummen die Grenzfunktion auf dem ganzen betrachteten Bereich gleichzeitig beliebig gut annähern.

Jede Partialsumme ist eine stetige Funktion. Weil die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ebenfalls stetig ist, ist auch f stetig. Die Stetigkeit wird also durch die rasch kleiner werdenden Amplituden gesichert, obwohl die Frequenzen der Schwingungen immer weiter steigen.

Typische Beispiele und anschauliche Deutung

Eine oft verwendete Weierstraß-Funktion ist

f(x):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k\sin(2^kx)}{3^k}.

Ein anschauliches Beispiel ist

f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(101^n\cdot x)}{100^n}=\sin(x)+\frac{\sin(101x)}{100}+\frac{\sin(101^2x)}{10000}+\frac{\sin(101^3x)}{1000000}+\cdots.

Ihr Graph ähnelt zunächst dem Graphen der differenzierbaren Sinusfunktion. Jeder weitere Summand hat zwar eine viel kleinere Amplitude, verändert den Graphen aber nochmals um kleine, sehr schnelle Schwingungen. Mit nur endlich vielen Summanden wäre die Funktion differenzierbar. Die unendlich vielen Ergänzungen bewirken jedoch, dass keine Tangenten konstruiert werden können. Die Funktion ist überall konvergent und stetig, aber nicht differenzierbar.

Fraktalcharakter und Häufigkeit

Die Weierstraß-Funktion kann als eines der ersten Fraktale angesehen werden, obwohl der Begriff damals noch nicht verwendet wurde. Ihr Graph besitzt auf jedem Vergrößerungsniveau neue Details und nähert sich beim Hineinzoomen nicht zunehmend einer Geraden an. Außerdem ist die Funktion auf keinem noch so kleinen Intervall monoton: Zwischen zwei beliebig nahen Punkten treten weiterhin Schwankungen auf.

Für die klassische Weierstraß-Funktion beobachtete Kenneth Falconer als obere Schranke für die Hausdorff-Dimension

\frac{\ln a}{\ln b}+2,

wobei a und b die Konstanten der Konstruktion sind. Erst über 30 Jahre später wurde bewiesen, dass dieser Wert tatsächlich die exakte Hausdorff-Dimension ist. Ähnliche Konstruktionen entstehen auch, wenn man den Kosinus in der unendlichen Reihe durch eine stückweise lineare Zick-Zack-Funktion ersetzt.

Nirgends differenzierbare stetige Funktionen sind nicht auf einzelne Sonderbeispiele beschränkt. Im Vektorraum C([0,1];\mathbb{R}) aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1], versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz, liegt die Menge der nirgends differenzierbaren Funktionen dicht. Das heißt: Jede stetige Funktion lässt sich gleichmäßig beliebig genau durch eine solche Funktion annähern.

Auch maßtheoretisch sind diese Funktionen typisch: Erhält C([0,1];\mathbb{R}) das klassische Wiener-Maß \gamma, so hat die Menge der Funktionen, die auch nur in einem Punkt von [0,1] differenzierbar sind, \gamma-Maß null. Entsprechendes gilt für endlichdimensionale Teilmengen; dort bilden nirgends differenzierbare Funktionen eine prävalente Untermenge.