Harmonische

Kernbegriff und Bedeutung

Eine Harmonische ist in der klassischen Physik und Technik eine harmonische Schwingung, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz ist. Die Grundfrequenz ist die niedrigste Frequenz eines periodischen Vorgangs und wird oft mit f bezeichnet. Eine Harmonische oberhalb dieser Grundfrequenz heißt auch Oberschwingung, Oberwelle oder, in der Musik, Oberton.

Als Funktion der Zeit ist eine Harmonische eine rein sinusförmige Schwingung. Harmonische sind wichtig, weil viele periodische Signale und Klänge als Kombination aus einer Grundschwingung und weiteren sinusförmigen Schwingungen verstanden werden können. Sie spielen deshalb unter anderem in Musik, Mechanik, Elektrotechnik und Optik eine Rolle.

Zählweise der Harmonischen

Die Ordnungszahl einer Harmonischen gibt an, in welchem Verhältnis ihre Frequenz zur Grundfrequenz steht. Die n-te Harmonische hat die n-fache Frequenz der Grundschwingung. Bei einer Grundfrequenz f hat die zweite Harmonische also die Frequenz 2 f, die dritte Harmonische 3 f und so weiter.

Bei den Begriffen Oberschwingung, Oberwelle und Oberton wird anders gezählt: Hier entspricht die Frequenz dem n+1-fachen der Grundfrequenz. Der erste Oberton ist daher die zweite Harmonische und hat die doppelte Frequenz der Grundschwingung. Wichtig ist also, ob die Grundfrequenz mitgezählt wird oder nicht.

Analyse von Signalen

Mit der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) kann man Signalverläufe in ihr Frequenzspektrum zerlegen. Ein Frequenzspektrum zeigt, welche Frequenzen in einem Signal enthalten sind. Solche Signale können zum Beispiel von einem Musikinstrument als Ton, von einem Oszillator als elektrisches Audiosignal oder von einer anderen Signalquelle stammen. Technisch kann diese Analyse mit einem Spektrumanalysator durchgeführt werden. Digitale Spektrum-Analysatoren verwenden zur schnelleren Berechnung häufig die Fast Fourier Transformation (FFT).

Für jedes periodische Signal gilt: Es lässt sich in eine sinusförmige Grundfrequenz f und weitere sinusförmige harmonische Frequenzen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz zerlegen, also 2 f, 3 f, 4 f und so weiter. In der Analyse erscheinen beliebige periodische Signalverläufe als Summe von unter Umständen unendlich vielen sinusförmigen Signalen.

Auch die umgekehrte Richtung ist möglich: Durch Synthese können periodische Signale aus solchen sinusförmigen Anteilen zusammengesetzt werden. Allerdings kann ein Originalsignal durch Analyse und anschließende Synthese nicht mehr absolut exakt wiederhergestellt werden. Bei nicht-periodischen Signalen entsteht dagegen kein diskretes Spektrum aus einzelnen Harmonischen, sondern ein kontinuierliches Frequenzspektrum, das alle Frequenzen enthalten kann.

Harmonische in der Musik

In der Musik ist das Signal ein Klang. Jeder Klang setzt sich aus dem Grundton und den Obertönen zusammen. Bei harmonisch komplexen Tönen stehen die Frequenzen untereinander und zur Grundfrequenz in ganzzahligen Verhältnissen. Gleichzeitig erklingende Töne mit solchen Frequenzverhältnissen werden als harmonischer Klang empfunden. Die Oberschwingungen heißen in diesem Zusammenhang Obertöne.

Die Klangfarbe eines Tons hängt von den relativen Stärken der Obertöne ab. Physikalisch sind das die Amplitudenverhältnisse der Obertöne. Begriffe wie Teiltöne, Partialtöne oder harmonische Frequenzen zählen in der Audiotechnik die Grundfrequenz mit. Wenn dagegen von Obertönen gesprochen wird, wird die Grundfrequenz nicht mitgezählt; gemeint sind nur die Vielfachen der Grundfrequenz oberhalb des Grundtons.

Nicht alle Klänge sind streng harmonisch. Bei angenähert harmonisch komplexen Tönen haben höhere Frequenzanteile keinen genau ganzzahligen Bezug zur Grundfrequenz; sie besitzen bereits einen nicht zu vernachlässigenden Anteil an Inharmonizität. Inharmonizität bedeutet hier, dass Frequenzanteile vom idealen Muster ganzzahliger Vielfacher abweichen. Bei gering harmonischen komplexen Tönen weichen die Teiltonfrequenzen erheblich vom harmonischen Muster ab. Dazu gehören Klänge, die durch Anschlagen von Glocken, Stäben, Röhren oder membranartigen Körpern entstehen. In der Literatur kommen außerdem Bezeichnungen wie Subharmonische Tonreihe vor, die an mathematische Definitionen für subharmonische Funktionen angelehnt sind.

Beispiel mit Kammerton a'

Ein Beispiel ist der Grundton a', der Kammerton mit der Grundfrequenz f = 440 Hz. Die n. Harmonische hat allgemein die Frequenz n·f. Für die ersten vier Harmonischen ergibt sich daher die harmonische Reihe: 1·f = 440 Hz, 2·f = 880 Hz, 3·f = 1320 Hz und 4·f = 1760 Hz.

Dabei ist n = 1 der Grundton, zugleich der 1. Teilton und die 1. Harmonische. n = 2 ist der 1. Oberton, der 2. Teilton und die 2. Harmonische. n = 3 ist der 2. Oberton, der 3. Teilton und die 3. Harmonische. n = 4 ist der 3. Oberton, der 4. Teilton und die 4. Harmonische. Das Beispiel zeigt besonders deutlich, dass Harmonische und Teiltöne die Grundfrequenz mitzählen, Obertöne dagegen nicht.

Harmonische in der Elektrotechnik

In der Elektrotechnik und Nachrichtentechnik treten harmonische Frequenzen auf, wenn ein sinusförmiges Eingangssignal mit einer Grundfrequenz durch ein nichtlineares System läuft, zum Beispiel durch einen Verstärker oder eine Übertragungsstrecke. Dabei können zusätzliche Signale mit harmonischen Frequenzen entstehen. Diese ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz werden am Ausgang des Systems der Grundfrequenz überlagert.

Der Anteil dieser zusätzlichen harmonischen Signale bestimmt, wie stark das ursprüngliche sinusförmige Eingangssignal verzerrt wird. Solche Verzerrungen werden mit dem Klirrfaktor bewertet. In der Leistungselektronik können harmonische Frequenzen, zum Beispiel durch Gleichrichter erzeugt, störende Rückwirkungen auf das mit Wechselspannung betriebene öffentliche Versorgungsnetz haben. Harmonische Frequenzen oberhalb der Netzfrequenz werden dort durch Leistungsfaktorkorrektur reduziert.