Implikation

Grundbedeutung und Formen

„Implikation“ bezeichnet in der Logik keinen einheitlich definierten logischen Zusammenhang. Wichtig ist vor allem die Unterscheidung zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation.

Die materiale Implikation ist eine wahrheitsfunktionale Verknüpfung zweier Aussagenvariablen: a → b. Sie wird auch Subjunktion oder Konditional genannt und meist mit „Wenn a, dann b“ wiedergegeben. Ihr Wahrheitswert hängt ausschließlich von den Wahrheitswerten der Teilaussagen ab.

Daneben gibt es formale oder nichtklassische Deutungen, die den logischen Zusammenhang näher an der Bedeutung des natürlichen „wenn …, dann …“ oder an einem deduktiven Zusammenhang fassen sollen. Dazu zählen unter anderem die intuitionistische Implikation, die strikte Implikation und die von Ackermann entwickelte strenge Implikation. Spezifischere Deutungen werden auch als objektsprachliche Implikationen bezeichnet.

Objektsprachliche und wahrheitsfunktionale Implikation

Eine objektsprachliche Implikation ist ein Aussagesatz, der aus zwei kürzeren Aussagesätzen mit dem Junktor „(schon) wenn …, dann …“ gebildet wird. Im Ausdruck a → b heißt a Antezedens, Vordersatz, Implikans oder Vorderglied. b heißt Konsequenz, Nachsatz, Hintersatz, Implikat oder selten Sukzedens.

Klassisch gilt:

A → B ⇔ ¬A ∨ B

Die materiale Implikation ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr:

• A falsch, B falsch: wahr
• A falsch, B wahr: wahr
• A wahr, B falsch: falsch
• A wahr, B wahr: wahr

Sie behauptet lediglich, dass die Wahrheit von A eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit von B ist. Einen kausalen, zeitlichen oder sonstigen inhaltlichen Zusammenhang zwischen A und B behauptet sie nicht. Weitere Schreibweisen sind a ⊃ b, a ⇒ b und in polnischer Notation Cab. Als Junktor wird meist ein einfacher Pfeil verwendet; ⊃ heißt „Hufeisen“ oder „horseshoe“.

Die materiale Implikation eignet sich auch für Aussagen der Prädikatenlogik, etwa:

∀x(P(x) → S(x))

Dies bedeutet: „Für alle x gilt: Wenn x ein Pferd ist, ist x ein Säugetier.“

Typische Paradoxien entstehen durch den rein extensionalen Charakter: „Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß“ ist wahr, weil das Antezedens falsch und das Sukzedens wahr ist. Auch „Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee schwarz“ ist wahr, weil beide Teilaussagen falsch sind. „Wenn London in England liegt, ist Schnee weiß“ ist wahr, weil beide Aussagen wahr sind. Nur ein wahres Antezedens mit falschem Sukzedens macht die Implikation falsch.

Bedingungen und logische Gesetze

Die materiale Implikation kann auch so definiert werden:

• a → b ⇔ ¬a ∨ b („nicht a oder b“)
• a → b ⇔ ¬(a ∧ ¬b) („Es gilt nicht: a und nicht b“)
• a → b ⇔ ¬b → ¬a

Die letzte Äquivalenz ist die Kontraposition: Antezedens und Konsequenz werden vertauscht und zugleich negiert. Außerdem gilt, dass a äquivalent zu ⊤ → a ist und ¬a äquivalent zu a → ⊥. Dabei bezeichnet ⊤ eine beliebige Tautologie und ⊥ eine beliebige Kontradiktion. ⊥ → a und a → ⊤ sind jeweils äquivalent zu ⊤.

Die Implikation ist nicht assoziativ, kommutativ, symmetrisch, antisymmetrisch oder asymmetrisch. Sie ist jedoch reflexiv und transitiv:

• a → a
• Aus a → b und b → c folgt a → c.

Zusammen mit der Negation lassen sich alle aussagenlogischen Junktoren darstellen.

Natürliche Sprache und nichtklassische Implikationen

Die Formulierung „Wenn a, dann b“ ist für die materiale Implikation problematisch, weil das deutsche „wenn …, dann …“ im Alltag häufig einen kausalen oder zeitlichen Zusammenhang ausdrückt. Solche Zusammenhänge kann die materiale Implikation nicht darstellen. Präzisere Umschreibungen sind „Schon wenn a, dann b“ oder „a ist eine hinreichende Bedingung für b“.

Die intuitionistische Implikation versteht a → b nicht bloß als Wahrheitsverknüpfung. Intuitiv bedeutet sie, dass sich ein Beweis von a, dessen Existenz nicht vorausgesetzt wird, in einen Beweis von b transformieren lässt. Ihre Semantik wird unter anderem durch Heytingalgebren oder intentionale Semantiken beschrieben; eine wichtige formalisierte Semantik ist die Kripke-Semantik.

Mehrere klassische Äquivalenzen gelten intuitionistisch nur in eine Richtung:

• Aus a → b folgt ¬(a ∧ ¬b), aber nicht umgekehrt.
• Aus a → b folgt ¬b → ¬a, aber nicht umgekehrt.
• Aus ¬a ∨ b folgt a → b, aber nicht umgekehrt.

Daher kann die intuitionistische Implikation nicht über Negation und Konjunktion oder Disjunktion definiert werden. Weiterhin gelten a ⇔ ⊤ → a, ¬a ⇔ a → ⊥ sowie ⊥ → a und a → ⊤ ⇔ ⊤. Auch sie ist reflexiv und transitiv.

Die strikte Implikation verbindet den modallogischen Notwendigkeitsoperator mit der materialen Implikation:

□(a → b) beziehungsweise □(a ⊃ b)

Sie wird gelesen als „Wenn a, dann gilt notwendig b“. Sie soll die natürliche Bedeutung des „wenn …, dann …“ besser annähern und ist nicht schon wegen eines falschen Antezedens oder eines wahren Sukzedens wahr. Es gibt zahlreiche Varianten, abhängig vom zugrunde gelegten Modalkalkül. Die strikte Implikation ist reflexiv und transitiv, wird aber ebenfalls kritisiert: Jede logisch unmögliche Aussage impliziert strikt jede beliebige Aussage, und jede Aussage impliziert strikt jede logisch notwendige Aussage. Außerdem wurde Clarence Irving Lewis vorgeworfen, Objekt- und Metasprache zu vermischen.

Metasprachliche Implikation und Folgerung

Eine metasprachliche Implikation ist eine Aussage über Aussagen. A impliziert B genau dann, wenn mit dem Zutreffen von A auch das Zutreffen von B gewährleistet ist. Mehrere Aussagen A₁ bis Aₙ implizieren B, wenn aus ihrem gemeinsamen Zutreffen ebenfalls das Zutreffen von B folgt.

Beispiel: „Alle Schweine grunzen“ und „Babe ist ein Schwein“ implizieren „Babe grunzt“.

Man unterscheidet zwei wichtige Präzisierungen des Folgerungsbegriffs:

• Semantische Folgerung: A₁, …, Aₙ ⊨ B. Sie liegt vor, wenn in jeder Interpretation, in der A₁ bis Aₙ wahr sind, auch B wahr ist.
• Syntaktische Folgerung oder Herleitbarkeit: A₁, …, Aₙ ⊢ B. Sie liegt vor, wenn B in einem gegebenen logischen Kalkül mithilfe seiner Axiome und Schlussregeln aus A₁ bis Aₙ hergeleitet werden kann.

Welche Folgerung gemeint ist, muss angegeben werden, da klassische und intuitionistische, semantische und syntaktische Folgerungen zu unterschiedlichen Kalkülen und semantischen Modellen führen können. Dies wird etwa durch Indizes angezeigt: A ⊨K B und A ⊢K B stehen für klassische, A ⊨I B und A ⊢I B für intuitionistische Folgerung.

Zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation besteht in vielen Logiken ein Zusammenhang, der im Deduktionstheorem formuliert wird:

⊢ a → b genau dann, wenn a ⊢ b.

Ist „Wenn a, dann b“ beweisbar, lässt sich b aus a herleiten; lässt sich b aus a herleiten, ist „Wenn a, dann b“ beweisbar. Das Deduktionstheorem gilt für die klassische, die intuitionistische und die strikte Implikation, ist aber kein selbstverständlicher Zusammenhang, sondern muss für den jeweiligen Kalkül bewiesen werden.