Exponentieller Prozess

Grundidee und Formen

Ein exponentieller Prozess ist ein Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell ändert. Meist geht es um zeitliche Änderungen. Entscheidend ist, dass die Änderungsrate von der Größe selbst oder von ihrer Differenz zu einem Endwert abhängt.

Man unterscheidet drei Grundformen:

• Beim exponentiellen Wachstum wächst eine Größe immer schneller.
• Bei der exponentiellen Annäherung nähert sich eine Größe einem vorgegebenen festen Wert an.
• Der exponentielle Zerfall oder die exponentielle Abnahme ist der wichtigste Spezialfall der Annäherung: Eine Größe nimmt monoton und immer langsamer ab, nähert sich der Null asymptotisch und erreicht sie nie.

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die positive zeitliche Änderung einer Größe A proportional zu A selbst ist. Für die Wachstumsrate gilt:

ᵈA/ᵈt ∼ A

Mit der Proportionalitätskonstanten τ erhält man die Differentialgleichung:

τ · ᵈA/ᵈt = A

Ihre Lösung ist die Exponentialfunktion:

A(t) = A₀ · e^(t/τ)

Dabei bezeichnet A₀ den Anfangswert von A bei t = 0. Die Zeitkonstante τ ist die Zeitspanne, in der A jeweils auf das e-Fache anwächst.

Exponentielle Abnahme und Halbwertszeit

Bei exponentiellem Zerfall, exponentiellem Abfall oder exponentieller Abnahme ist die Abnahme einer Größe proportional zu ihrem jeweiligen Wert. Weil die Größe mit der Zeit kleiner wird, wird auch ihre absolute Abnahme immer geringer; die Kurve verläuft asymptotisch.

Die Differentialgleichung für eine zeitliche Abnahme lautet:

−τ · ᵈA/ᵈt = A

Dabei wird τ üblicherweise positiv angenommen und das Minuszeichen in die Gleichung geschrieben. Die Lösung lautet:

A(t) = A₀ · e^(−t/τ)

Die Zeitkonstante τ gibt an, nach welcher Zeit A auf das 1/e-Fache, also auf etwa 37 %, abgefallen ist. In der Physik wird τ auch Lebensdauer genannt. Anschaulicher ist oft die Halbwertszeit T₁/₂. Sie gibt die Zeit an, nach der die Größe auf die Hälfte abgenommen hat:

T₁/₂ = ln(2) · τ ≈ 0,6931 · τ.

Ein räumliches Beispiel ist die exponentielle Abnahme der Intensität mancher Strahlungen mit der Eindringtiefe in homogenem Material.

Exponentielle Annäherung an einen Endwert

Bei vielen physikalischen Prozessen gleichen sich Größen zwischen zwei verbundenen Körpern oder Systemen aus. Ist ein Wert konstant, nähert sich die betrachtete Größe diesem Wert an; sind beide Werte veränderlich, nähern sie sich einander an. In beiden Fällen entsteht ein Endwert Aₑₙdₑ, der praktisch meist berechnet werden kann.

Die zugrunde liegende Differentialgleichung lautet:

−τ · ᵈA/ᵈt = A − Aₑₙdₑ

Die Lösung ist:

A(t) = Aₑₙdₑ + (Aₐₙfₐₙg − Aₑₙdₑ) · e^(−t/τ)

Aₐₙfₐₙg ist der Wert bei t = 0. Der Endwert wird mathematisch nie erreicht, sondern nur immer besser angenähert. Nach t = 5τ ist die ursprüngliche Differenz auf unter 1 % gesunken, nach t = 7τ auf unter 1 ‰. In der Praxis wird die verbleibende Differenz irgendwann kleiner als die Messungenauigkeit.

Viele dieser Vorgänge beruhen darauf, dass eine intensive Größe und eine extensive Größe proportional zusammenhängen. Eine Differenz der intensiven Größe bewirkt einen Fluss der extensiven Größe, der wiederum die ursprüngliche Differenz verkleinert. Beispiele sind Temperatur und Wärmemenge, elektrische Spannung und Ladung am Kondensator, Wasserdruck und Volumen sowie Konzentration und Stoffmenge. Deshalb lassen sich Erkenntnisse etwa aus der Diffusion auch auf Wärmeleitung und elektrische Ladung übertragen. Bei Flüssigkeiten und Gasen ohne starke Reibung oder Dämpfung können Trägheit, Schwingungen und Schallwellen zusätzliche Effekte verursachen.

Typische Beispiele und Zeitkonstante

Typische zeitliche Beispiele für exponentielle Abnahme sind der radioaktive Zerfall, das Entladen eines Kondensators über einen Widerstand, die Selbstinduktionsspannung und die Stromstärke beim Ausschalten einer Spule, die Schwingungsamplitude eines gedämpften Pendels bei Stokes-Reibung, der katalytische Abbau von Stoffen, Relaxationsvorgänge in der NMR, das Entleeren eines Wasserbehälters durch einen dünnen Schlauch, der Rückgang einer Flut, Sedimentation, Wundheilung und Ernüchterung.

Typische Beispiele für exponentielle Annäherung sind der Temperaturausgleich eines Metallstücks mit der Umgebung, der Ausgleich zwischen unterschiedlich warmen Metallklötzen, das Laden eines Kondensators, der Einschaltvorgang einer Spule, der Ausgleich von Wasserständen, Diffusion sowie die Annäherung eines fallenden Körpers an seine Endgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit mit endlicher Viskosität.

Der exponentielle Abfall ist die exponentielle Annäherung mit Aₑₙdₑ = 0. Die Zeitkonstante hängt vom konkreten Prozess und von Größen wie Widerständen und Kapazitäten ab. Beim Auf- oder Entladen eines Kondensators mit der Kapazität C über einen Widerstand R gilt:

τ = R · C.